438 



Hr. Overlærer Sylow har, som tidligere nævnt, i sin Afhand- 

 ling paavist, at den ved Formel (9) givne Ligning er den eneste 



i i_ 



af ri e Grad, hvis Rødder representeres ved x = R x n -f- fia" 5 hvor 

 Æi og R 2 ere Rødderneien irreduktibel 1 kvadratisk Ligning, hvis 

 Koefficienter ere rationale Funktioner af Koefficienterne i Lignin- 

 gen af n te Grad. Han har fremdeles, hvad der er meget interes- 

 sant, vist, at, naar den kvadratiske Ligning er reduktibel, gives 

 der andre Ligninger af n te Grad, nemlig væsentligt forskjel- 



la 



lige Former, der tilfredsstilles ved det nævnte Udtryk for x. Uden 

 at føie noget Nyt til Hr. Sylow's Arbeide i dette Punkt skal jeg 

 til yderligere Belysning af Sagen som Exempel betragte Lignin- 

 gen af 5te Grad. 



Den almindelige Ligning af 5te Grad kan reduceres til Formen: 

 z 5 + Bz 3 + Cz 2 + Dz + E = 0. 



Hvis denne Ligning var algebraisk opløselig, har Abel vist, 

 at Rodens Form maa være: 



* =P + bp s + cp* + dp b . 



Abel har fremdeles vist, at 6, c, d maa være rationale Funk- 

 tioner af Ligningens Koefficienter (#, C, D, E) og af p. Han har 

 endelig vist, at hvis Ligningen er algebraisk opløselig, maa Stør- 

 relserne p, 6 5 p a , c 5 /? 3 , d 5 p* være de 4 Rødder i en Ligning af 4de 

 Grad, saa at Roden ogsaa kan stilles under Formen : 



z = R^ + rJ -f R 3 * -j- rJ , 

 hvor Ri , Rn , jRg , R^ ere Rødderne i den nævnte Ligning af 4de 

 Grad. Man kan uden store Vanskeligheder finde Relationerne 



1 En Ligning kaldes irreduktibel, naar den ingen Rod har fælles med en Ligning 

 af lavere Grad, hvis Koefficienter ikke indeholde nogen Rodstørrelse, der ikke 

 forekommer i den oprindelige Lignings Koefficienter. Ere altsaa Ligningens 

 Koefficienter, rationale Tal eller rationale Funktioner af andre givne Størrelser, 

 saa er Ligningen irreduktibel, hvis der ingen Ligning gives af lavere Grad, hvis 

 Koefficienter ere rationale, og som har en Rod fælles med deh givne Ligning. 

 I modsat Fald er Ligningen reduktibel. Saaledes er Lign. x 4 — a 4 = reduk- 

 tibel, da den har en Rod fælles med Ligningen x 3 -f- ax 1 + a?x + a?—0. Men 

 x*-\-l= er irreduktibel; den har vistnok en Rod fælles med Lign. x 2 -\- x~[/ r 2-\-l=- 0, 

 men denne indeholder en Rodstørrelse y 2, som ikke findes i x 4 +l=0. 



