508 



Linie-Complex^ Hovedtangent-Curver). Transformationen (2) gi- 

 ver, anvendt paa denne Classe, alle partielle D ifferen tial- 

 li gni nger af ls te Orden, hvis characteristisk e Curver 

 ere Kr umnings-Curver for de løsende Flader. Parallel med 

 disse to Glasser stiller sig en tredie, hvis almindelige Ligning er : 



dR dz xdRdz__dR\f (d*\*,(dzy \[7^X l 1 

 dx'dx~*~dy dy dz~V \dx) ~^\dy) 1 ' \ \dx ) ~^\dy) ~^\dz) 



hvor R betegner en vilkaarlig given Funktion af xyz. Her ere 

 de characteristiske Curver geodætiske Curver for de lø- 

 sende Flader. Naar man kan løse en partiel DifFerentialligning, 

 henhørende til eji af disse 3 Classer, saa lader sig angive en Lig- 

 ning af hver af de to andre Classer, som lader sig behandle. 



Problemet: at bestemme en given Flades geodæ- 

 tiske Curver henhører som S peci al-Tilfælde under 

 Classe 3. Bestemmelsen af Hovedtangent-Curverne for den al- 

 mindelige Linie-Complex af n' e Orden, der tilsteder en bestemt 

 infinitesimal lineær Transformation i sig selv, tilbageføres herved 

 til Bestemmelsen af de geodætiske Curver for den almindelige 

 Flade af n te Orden. 



Ja co bi har som bekjendt bestemt 2den Grads Fladens geo- 

 dætiske Curver. Man kan som Følge heraf angive en Linie-Com- 

 plex af 2den Grad (16 Constanter), hvis Hovedtangent-Curver 

 afhænger af elliptiske Funktioner. 



Løsningen af det bekjendte Problem, vedrørende de Flader, 

 hvis Krumnings-Curver af ene System ere plane, giver Linie- 

 Complexer, hvis Hovedtangent-Curver lade sig bestemme. 



Man betragte alle 2den Grads Linie-Complexer, 1 der have 

 samme Singularitets-Flade og de tilsvarende partielle Differen- 

 tialligninger. To hvilkensomhelst af disse tilstede uende- 

 lig mange fæl les Løsninger. Herved er Bestemmelsen af 

 Hovedtangent-Curverne for den almindelige Linie-Complex af2den 

 Grad (19 Constanter) væsentlig simplificeret. Man kan paavise, 

 at dette Problem lader sig tilbageføre til Qvadratur. 



Et Special-Tilfælde af ovennævnte Theorem, vedrørende en 



1 Klein: Zur Theorie der Complexe. Math. Ann. t. II. 



