1892.] BUMMATIOX AF NOGLE TBIGONOM. RÆKKKli. 



11 



D n f(xi x*. . .Xn) = D n i/(.ri x->. . .x n ) — D n -if(— xix 2 .. .x H ) 



Z)„ H -i vil ifølge denne definition være et polynom paa 

 indbyrdes forskjellige led, der repræsenterer alle mulige udtryk. 

 som kan dannes af den oprindelige funktion ved tegnbytning for 

 de (m -f 1) sidste variable. 



Hvad fortegnet til et hvilketsomhelst led angaar, saa er det, 

 som vi senere skal se, -f- eller — , eftersom antallet af formelt 

 negative variable i samme er lige eller nlige. 



Vi vil anvende ovenstaaende paa hele potensfunktioner og 

 bevise følgende 



Th e o r e m 3. 

 Naar p er et helt positivt tal mindre end n, saa er: 



Dn-i [xi +' x* +. . . + Xnf*-*-* = (9) 

 Thi ifølge definitionen er 



Pi [xi + X2 + . . . + xjr^-} = 



= [xi + Xi -h . . . + x^-p- 1 — [xi + x 2 -f- ... — Xn^-r- 1 

 og saaledes delelig med x n . Fremdeles er 



= D, [Xj +Xi+...+ Xn-i + Xn]»'?- 1 



— Di [x2 + x% H- . . . — av_i -f aj* - *- 1 



og ifølge sin form og det foregaaende delelig baade med x n .-t 

 og x n . 



Saaledes kan vi fortsætte og faar tilsidst, at D n _i maa være 

 delelig med de {n — 1) sidste variable, hvilket kim kan ske 

 derved, at B n - X er 0, siden dens grad ikke kan overstige den 

 (n— p— l) te . 



Theorem 4. 



D n [xi 4-æa-K . . + «»]" = 2". 1.2. 3. . .n.xi x 2 xz. . .re* (10) 



Paa samme maade som i forrige bevis indsees, at D n maa 

 være delelig med alle n variable, og da D n er en homogen funk- 

 tion af n te grad, maa den have formen 



