12 



CARL STØRMER. 



[No. 17. 



X\ X2 x% ... x n . k, 



hvor k er en konstant. For at bestemme k sætter vi alle variable 

 lig 1 og har successive: 



.D, [1 + 1 + . . . + 1 ]" = w" - (n — 2)» = J l (2x + 



— i 



D 2 [1 + l+... + l]» = »«-2(« - 2)«+ {n — 4)«=*J 2 (2x + n)» 



— 2 



Db [1 + 1 -f ... + 1]" = røn_3 (n _ 2)« -f. 3( n _ 4)n _ {n _ 6 )n 



— 3 



og tilslut: 



D n [1 + 1 + . . . + 1J« = W " - (*J (11 _ 2)« + (g) (w - 4)« - . . . = 



= J" (2x + w) n , 



— n 



hvor den nedre index har samme betydning som i (1). 



Nu er imidlertid 4 H (2x+n) n som n te differens af en arith- 



— R 



metisk række af grad konstant og lig 2". 1.2. 3. . .n, hvoraf 

 satsen umiddelbart følger. 



Vi vil, før vi gaar videre, bevise rigtigheden af den ovenfor 

 nævnte tegnregel. Lad os skrive ligning (10) under formen: 



2 (— l) a [x'i -hx' 2 +. . .+ x' n ] n = 2*.l .2.3. . .n.X\X*x%. . .#„, 

 hvor exponenten a skal bestemmes for et hvilketsomhelst led, 

 og x'i betegner den for tilfældet optrædeude værdi af ± x { 

 (i =1,2,3, ...n). 



Vi danner den n te partielle deriverte med hensyn paa samt- 

 lige variable efter hinanden og faar da med udeladelse af fak- 

 toren 1.2.3. . .n: 



2 (— l) a .£lé2£3- . .€„ = 2», 



hvor et = ± 1, naar x , i = db x L 



Da nu antallet af led paa venstre side netop er 2", maa 

 hvert enkelt led være -f- 1, hvilket giver følgende tegnregel: 



a er lige eller idige, efter som anfallet af formelt negative va- 

 riable i hvert enkelt led er lige eller idige. 



Ifølge den oprindelige definition af D h D2, osv. var nu 

 tegnene uafhængige af funktionens karakter, og den fuudne tegn- 



