1892.] 



SUMMATIOX AF NOGLE TRIGONOM. RÆKKER. 



13 



regel gjælder altsaa for udtrykket D n f(x\X2...x n ) i alminde- 

 lighed. 



Det er let at se, at reglen ogsaa gjælder for D P f(x\ x 2 . . .x n ), 

 p <Z n\ thi da de (n—p) første variable ikke deltager i tegn- 

 skiftet, kan vi, hvad tegnene angaar. sætte dem ud af betragt- 

 ning og behandle / som en fuuktion af de^ sidste tegnskiftende 

 variable alene. 



Theorem 5. 



Dn-l [Xl+Xf -K..+ X n ] n = 2»- 1 . 1 . 2 . 3 . . . 11 . X! X 2 X 9 . . . X m (1 1 ) 



eller, udtrykt i ord: 



Naar man danner alle mulige udtryk, der kan fremkomme 

 ved i funktionen \x\ -f- X2 + ... + %n] H at tytte tegn for alle de 

 variable undtagen den første, og giver hvert udtryk fortegnet + 

 eller —, eftersom antallet af formelt negative variable i samme er 

 lif/e eller idige, saa vil den algebraiske sum af alle disse udtryk 

 være = 2 n ~ 1 .1.2.3 . . .n.x\X*x*. . . x n . 



Betegner vi nemlig x 2 4- x% + . . . + x H med X og en vilkaarlig 

 værdi af x'% + x*% + . . . + x' n med X. saa er 



D n (#1+ X) n = D n _, (X! + X) u - D n -r (— xi + X) n = 



D^i(xi + xy + (- lyn.D^t (xi —X) n . 



Til ethvert led (— l) a .(xi — X')» i udtrykket D*- t (xi — X) 

 vil der nu, som man ser, i det andet udtryk D n -i (x\ + X) n svare 

 et led (— l) b . (x — X') n , hvor b efter tegnregelen er (n — Y) — a 

 eller (n — 1) + a. Da desuden hvert udtryk indeholder det 

 samme antal indbyrdes forskjellige led, maa vi have 



2> M _i (X! - X) n = (- l^.Dn-i (X! -f- X)« hvilket giver 



D„ fø + X) n = D^i fø + X)" + (- i) 2 ».D w -i On + X)" = 



2D n _i(^ + X)", eller 

 Z)^, fø + X)» = «D* fø + X) n , 

 hvoraf satsen umiddelbart følger. 



