14 



CARL STØRMER. 



[No. 17. 



I forbigaaende kan her bemerkes, at man ved i sidste 

 tkeorem at vælge de variable saaledes, at høire side bliver en 

 fuldstændig p te potens, kan finde uendelig mange polynomer, be- 

 staaende af 2' 1 " 1 fuldstændige n te potenser, lig en fiddstændtg p te 

 potens. 



Vi vil dernæst opstille nogle tilsvarende theoremer for tri- 

 gonometriske funktion er. 



Theorem 6. 



D 2p cos [xi + a?2 4- - . - 4- x 2p \ = 



= ( — 1 y . 2 2 v . sin x\ sin x 2 sin x z . . . sin x 2p (12) 



Venstre side er nemlig ifølge definitionen den algebraiske 

 sum af en række led af formen [cos (X + x t ) — cos (X — x t )\ hvor 

 Xi er fælles for alle led, medens X vexler, idet den betegner ind- 

 begrebet af de ovrige variable med tilhørende tegn. Hvert af 

 disse led er deleligt med sin x { , og da x ( kan vælges vilkaarlig 

 blandt de variable, bliver venstre side delelig med produktet af 

 alle sinusserne. 



Da desuden cosinus til enhver af summerne paa venstre side 

 er en homogen funktion af (2p) te grad af sinus og cosinus til de 

 enkelte variable, maa vi have: 



D 2p cos \x\ -f- x 2 -\- . . . + x 2p ] = sin x\ sin x 2 sin x% . . . sin x 2p . Jc, 



hvor Jc er en konstant. 



For at finde Jc sætte vi alle variable lig Betegner vi 

 med q et helt positivt tal eller 0, vil et hvilketsomhelst led paa 

 venstre side med sit fortegn have en af formerne: 



- cos [(2p - (2 q + 1)) l - (2q + 1)|] = - cos(p-l)* = (-iy 



Og cos[(2p - 2ø)| — 2#.|j = COS^rr = (— 1)p 



Da nu venstre side indeholder 2 2 p led af denne form, vil 

 dens værdi eller værdien Jc være ( — iy . 'Jp, hvoraf satsen umiddel- 

 bart følger. 



