R. Occhipinti 



[Memoria IV.] 



zioni coniugate delle linee di torsione (cioè delle bisettrici delle linee di curvatura); esse 

 hanno le immagini sferiche ortogonali. 



In altra nota io (*) osservo che l'equazione differenziale del primo sistema di linee si 

 può ottenere eguagliando a zero il jacobiano tra la prima l'orma fondamentale ed il jacobiano 

 prime due: quella del secondo sistema di linee eguagliando a zero il jacoliano tra la se- 

 conda forma fondamentale ed il jacobiano delle prime due, e finalmente l'equazione del 

 terzo sistema di linee si può ottenere eguagliando a zero il jacobiano tra la terza forma 

 fondamentale ed il jacobiano delle prime due. 



Nella presente nota studierò brevemente tre sistemi di linee della superlìcie, i quali 

 si comportano, rispetto alla torsione geodetica, in modo analogo ai sistemi sopracennati 

 relativamente alla curatura normale. 



Comincerò coli' osservare che, se si indicano con p, e p 2 le curvature principali in un 

 punto della superficie, il massimo e minimo di torsione geodetica in quel punto è dato da 



' = ± ^ = ± Ì^Nr'f 1 ^^ ± f"'' ~ K ' 



dinotando // la curvatura media e K la totale (**). 



Il prodotto di queste due torsioni, che noi per brevità chiameremo torsione superfi- 

 ciale nel punto in considerazione, è dunque: ~ L — K— H~. 



Questo prodotto avrà, nelle nostre considerazioni, la stessa parte della curvatura to- 

 tale nel caso delle curvature. 



I. — Il primo sistema di linee è costituito da quelle, che hanno, in ciascun punto, la 

 torsione geodetica eguale alla curvatura media della superlìcie. 



Sulle superfìcie minime (B =■ 0) queste linee hanno dunque in ciascun punto nulla 

 la torsione geodetica, epperò coincidono con le linee di curvatura. 



Riferendosi alle notissime espressioni della torsione geodetica e della curvatura me- 

 dia (***) si può scrivere subito l'equazione differenziale delle attuali linee (linee /): 



(ED — ED') dir -f (GD — E D") dudv -\-(GD' — FD") dv'- __ 2FD'— ED"— GD . 

 ] EG — F- (Edu*-\- IFdudv -f G dv 2 ) 2 (EG-F 2 ) 



Pigliando come sistema //, v quello delle linee di curvatura (F = D' = 0) questa 

 equazione si scrive : 



e; ( ED" -f- GD) dv- — 2 f~EG {ED" — GD) dudv -f E (ED" -\- GD) du* = 



e dà : 



dv _ j~EG [ED" — GD±2 ) — EGDD" ) 

 ~du — G ( ED" -f GD) ' 



(*) Sulla torsione di alcune curve di una superficie — Periodico di Matematica . Livorno — Anno XXIX 

 fase. I l settembre 19 131. 



(*•) Bianchi — Lezioni di Geometria differenziale — Voi. i°, pag. 200 un notai 2 H edizione. 



(***) Bianchi — L. c. pag. tqo e pag. 134.-- Si baili peni che ivi è dinotata con H semplicemente la 

 somma delle curvature principali. 



