Su alcune linee' di una superfìcie 



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Vediamo ora quali relazioni han luogo tra i coefficienti delle due prime forme fon- 

 damentali quando si pigliano come linee coordinate //, v il sistema delle linee /. In que- 

 sto caso la (1) deve ridursi al solo termine in dudv, dunque: 



2 (FD" — GJ)') \' EG — F 2 — G (ED" — 2FD' -f GB) = 



2 (ED' — F D ) | EG — E 2 —E (ED" — 2FD' -f- GD) = 

 Queste possono scriversi così : 



- G 2 D + 'Iti (F— |< Eti — F' 1 ) D' + (2 E | EG — F* — EG) D" = 



- (EG -f 2 E | Eti — F l ) D -f 2E( F -j- 1' £6' ~ F 2 ) D' — E' 2 J>" = 

 ed eliminando una volta D ed una volta D", si trasformano nelle seguenti: 



F 2 Lf'-\- G (F-\- I EG — F' 2 ) D' = 



F 2 D +E{F - 1' EG — />' = 



(4) 

 (5) 



Noi ci serviremo di queste per trovare le relazioni cui soddisfano le coordinate car- 

 tesiane x, y, s di un punto mobile della superficie espresse mediante i parametri di due 

 linee /. 



Ricordiamo le forinole : 



3lr _ 

 dir 



1 1 / dx 

 1 \ dn 



■ in) 



h ì 2 \ 



òr 



d*x _ 



dudv 



A2I dx 

 ! 1 \ dn 



|_ jl.2j 



a.v 



d-x 1 



22 j dx , 



(22| 



3.v 



d-o 2 t 



i ! du 1 



(21 



3-d 



con le analoghe in y, 3 (*) ; in queste .Y, V, Z dinotano i coseni di direzione positiva 

 della normale alla superficie nel punto xys, ed i simboli \ r , s i di Christoffel si riferiscono 

 alla prima forma fondamentale. 



Moltiplicando la seconda per G {F~\- VEG—F z ) e la terza per — F 2 e poi somman- 

 do, risulta, per la (4) : 



dudv dv 



G(F+)ÌEti-F 2 )\ l ?l-F* 



dx 



dlt 



G(f+ì/EG-F*)\ 1 ?\-F 2 \ 2 ?\ 



dx 



(*) Bianchi, I. c. pag. nò. 



ATTI ACC. V., VOI.. VII — Meni. IV. 



