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R. Occhipinti 



(Memoria IV. 1 



Invece moltiplicando la prima per — F 2 e la seconda per E (/' — ]/ KG — F ì ) e som- 

 mando, risulta, per la (5) : 



E {F- iEO^T-) f^- -F* ^ 

 àuàv àu 



5\ 12 



E{F— \EG -F 2 ) j Y -F* ■ \ l j 



àx 

 du 



+ 



àx 

 dv 



Le stesse equazioni verificano y e s. — Dunque: 



Le coordinate cartesiane x, y, z di un punto mobile di una superfìcie, espresse 

 mediante i parametri u, v di dite linee 1, verificano simultaneamente due equa- 

 zioni della forma : 



a _ h i! 9 ^ - a J 10 - (_ fi J*L (6 



a-'e a 2 e , ae „, ae 



3// et» dir dv dv 



(7) 



Si noti che a e 6 sono proporzionali a Ér (.F -\- ÌEG — F 2 ) ed F~, ed a e 



sono 



combinazioni lineari di queste espressioni e dei simboli di Christoffel )' , ' 2 "*j simil- 

 mente a e b sono proporzionali ad E ( E -\- ÌEG — E' 1 ) , F 2 ed a e fi' sono combinazioni 

 lineari di queste espressioni e degli stessi simboli di Christoffel j , j' 2 J j . 



Viceversa, supponiamo che x, v, s verifichino due equazioni del tipo (6), (7); dico 

 allora che u, v sono linee / sulla superfìcie. 



Infatti, immaginando scritta, per es., la (6) con x, v, s, poi moltiplicando rispettiva- 

 mente per A', Y, Z e sommando risulta : 



a-X **- - bZX = «SA *L + f* ; ma -X = ** = 0, 

 óv~ àn ai) 



dunque : 



a D' — bD" = 0; operando analogamente con la (7) si ha: 



a D' — bD = e, poiché a, b, a' sono rispettivamente proporzionali : 



a G {F + I EG—E 2 ) , F- , E {F — ÌEG—F 2 ), seguono subito le (4) e (5), dunque 

 le u, v sono linee /. 



2. — Come secondo sistema di linee, che indicheremo con L, considereremo quelle 

 che hanno, in ciascun punto, la torsione geodetica eguale al rapporto tra la torsione su- 

 perficiale e la curvatura media. Nel sistema coordinato delle linee di torsione, l' equazione 

 di queste linee è : 



GD'dv 2 .— ED' dir _ _ D' 1 



fEU (Gdv 2 + Edn 2 ) ~ H GD 



