Su alcune linee di una superfìcie 



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e dà : 



V E {D fo -f // fÉ ) 



du I G(D\/g — 7)' Il E) (8) 



Questa mostra che le linee L passanti pel punto in considerazione, sono isocline sulle 

 linee di torsione. Inoltre L' equazione delle attuali linee nel sistema delle linee di curvatura 

 essendo : 



(OD — ED")dudv t, K—H* - (ED"— (il)) 1 



(/ EO (Edir + Gdv~ H H 2EG [ED" -f OD) 



epperò : 



dv ÌEG(ED" + GD±2 fEGDD" ) 

 -JJi G (ED" - GD) 



noi vediamo che le linee L non esistono che nelle regioni a punti ellittici (D e D" dello 

 stesso segno), laddove esistono le linee caratteristiche. Per la curvatura normale in un 

 punto di una linea L abbiamo, nel sistema delle linee di torsione (E = 0, GD = ED") : 



1 



°" [%) + 2h 'fu + D n „ E(DÌG + D'lE) , \lE{DÌQ + D'ÌE) 



D "777^ T7^r + J7> ^= + -P 



ii _ - Zi 



7)1^ - D' ]' E 



\_ + Z>' ^ [/ ( p }j G + ( jj |/g - Z)' ^) ptG + D'lEì/D'-G-D'tE 



R ~~ EDO EDO 



R E \'GD V EG : ~E 



Ne segue subito : 



1 S-^K 

 ~R- H H~ 



e per 1' altra linea L passante pel punto in considerazione troveremmo 



H -I ^— 



Queste forinole ci mostrano che nelle superficie sviluppabili (K= 0) le linee L hanno, 

 in ciascun punto, la curvatura normale eguale alla curvatura media della superfìcie, epperò 

 coincidono con le linee di torsione. 



(•) Bisogna escludere il caso GD = ED", che altrimenti, essendo /•" = Z?' = o la superficie sarebbe 

 (Bianchi I. c. pag. 128 in nota) una sfera od un piano. 



