Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 



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e questa condizione è verificata, perchè tutti gli elementi del determinante sono nulli, in 

 seguito alle (1). Ammettiamo ora per un momento che I l2 ... k S i2 ... }l sia di specie //, mi- 

 nore di k. Essa dovrà allora essere il prodotto di una sostituzione di specie I di specie // 

 per una cayleyana 8' : 



L-ì.n &i2...ft — Ir l r ì ...rii S . 



Ne segue 



lri r 2 ... r/t %.,/( — S. (3) 



Orbene quando noi, con la scorta della prop. 9'3, determiniamo la condizione neces- 

 saria e sufficiente perchè il primo membro di (3) sia una sostituzione non-cayleyana, tro- 

 viamo che, se il sistema degli indici (1, 2,... k) ha p elementi comuni col sistema (r L , 

 r %ì ..., /'/, ), la detta condizione è data dall'annullarsi di un emisimmetrieo ottenuto orlando, 

 con h—p linee, un minore principale Q d'ordine k — p, del determinante (2). Poiché Q ha 

 gli elementi tutti nulli ed è li — p <C k — p, la detta condizione è sempre verificata, quindi 

 è assurda l' eguaglianza (3). Pertanto : 



I. — La pili generale sostituzione non-cayleyana di specie k è della forma 



Ivi...h Sn...K , 



perciò i suoi elementi sono f ini zioni razionali di )— P) parametri indipendenti. 

 In particolare, se k = n, si ha 



Zi2...n == J > Ilì...n — — J 



quindi 



In...n S 12 ... n = —(2J-J) — — J, 



cioè : 



"2 — Si ha una sola sostituzione non cayleyana di specie eguale all' ordine, 

 ed è — I . 



E quasi superfluo notare, infine, che nella classificazione che abbiamo fatto delle so- 

 stituzioni ortogonali, una qualunque di esse si presenta una sola volta. 



II. Le sostituzioni ortogonali simmetriche — Di grande interesse sono le sostitu- 

 zioni ortogonali simmetriche. Esse si ottengono ormai molto semplicemente. Infatti, sia T 

 una sostituzione ortogonale di specie k (le >0) : 



T = I (2Z- 1 - J). 



Se I e simmetrica, cioè se T - - 7"_] , si deve avere 



1 (2Z~' — J) = {2ZZ[ — «/)/, 



quindi 



iz 1 = z_! ì , zi = iz_ x , 



