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Michele Cipolla 



[Memoria IIJ. 



Poiché un emisimmetrico di ordine dispari è sempre nullo, ne segue che la sostitu- 

 zione 18 è certamente non-cayleyana se / è di specie dispari. Ciò, del resto, si deduce 

 anche osservando che se / è di specie dispari, la sostituzione 18 è sinistrorsa. Adunque : 



'4 — Tutte le sostituzioni del tipo \ i S sono non-cayleyane di prima specie. 



Una sostituzione non-cayleyana di seconda specie è della forma I l2 8, ma perchè I l2 8 

 sia non-cayleyana occorre e basta che si abbia (3) : 



a.. = 0, 



ossia 



a — 



Una qualunque sostituzione propria e pseudosimmetrica Z nella quale sia s l2 =0, la 

 denoteremo con Z 12 . e porremo 



Poiché la sostituzione non-cayleyana / 12 ^ 12 non può essere di prima specie (altri- 

 menti sarebbe sinistrorsa), si conchiude che : 



"5 — Le sostituzioni non-cayleyane di seconda specie sono tutte del tipo I 12 S 12 . 



10. Liì sostituzioni non-cayleyane di specie k — Oramai è facile determinare l'espres- 

 sione generale delle sostituzioni non-cayleyane di specie k, maggiore di 2. Infatti, si ha 



In...n S = I u ...h (hi S) = Lu...k {In 8) = ... = / M :..ft_.(/»_i» S) , 



e le sostituzioni I uo 8, corrispondenti a tutte le combinazioni (//, v) , a due a due 



degl'indici 1, 2,... k non possono essere cayleyane, altrimenti la sostituzione 8 sa- 

 rebbe di specie minore di k. 



Per conseguenza, d'accordo col risultato del precedente art., nella sostituzione Z de- 

 vono essere nulli tutti gli elementi s au corrispondenti alle dette combinazioni (u,v) degli 

 indici 1, 2, .., k : 



3 lt = S l3 = .. . = Sk-ik = 0- (1) 



Noi denoteremo con Z V2 .. n una qualunque sostituzione propria e pseudosimmetrica Z 

 nella quale siano verificate le condizioni (1), e porremo 



.<? — 9 7"' 1 



'-J2.../C -■^"12. ..li ' J ■ 



Ci resta a dimostrare, inversamente, che la sostituzione I i2 ... h 8 I2 ... ,. è non-cayleyana 

 di specie k. Ora perchè I\*...k S l2 ___ n sia non-cayleyana occorre e basta (9 " 3) che sia 



