Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 



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come tipo delle sostituzioni non-cayleyane di specie k. Resta però a ricercare in quali casi 

 un prodotto siffatto è una sostituzione non-cayleyana. Vedremo più sotto che la condizio- 

 ne che I\>.., k S sia una non-cayleyana di specie k si esprime assai semplicemente negli 

 elementi della sostituzione pseudosimmetrica Z, 



Cominciamo col ricercale come si esprima negli elementi della sostituzione Z la con- 

 dizione che il prodotto IS sia una sostituzione non-cayleyana, cioè la condizione 



IS -f J 



. 



Poiché 



Z {IS -\-J) = Z (2IZ~ l — I -f J) = 21 -f (J — I) Z — — 2I [4- (J —DZ — -/] 

 a condizione precedente è soddisfatta allora e solo quando si ha 



cioè quando e 



TjZ — J 



■lì ' r ii & a 

 rj 2 a ti V 



' r t t &in 



'la <°»n 



'im 



'in ««a 



essendo 



'li = — (1 



fl-i 



= 



(/=1,2,...,«) 



Poiché rjj è uguale a o a 1 secondo che s, è uguale a 1 o a — 1, ne segue che il 

 determinante a primo membro è, salvo il segno, eguale a quel minore principale dell'emi- 

 simmetrico 



# i2 ... s ln 



3 S, 



S, n n2 ... 



che è contenuto nelle righe corrispondenti agl'indici di quelle e che sono eguali a — l. 

 Adunque : 



'3 — Se S è una sostituzione cayleyana, posto S = 2 Z~ l — J, perchè la so- 

 stituzione \, l r.,...> k S sta non cayleyana, Decorre e basta che fra gli elementi z,. s di 

 Z abbia luogo la reiasione 



