14 



Michele Cipolla 



[Memoria IL] 



'2 — Se T è una sostituzione non cayleyana d'ordine n e il determinante 

 | T-j-J | ha la caratteristica n — k, //o» esiste in V alcuna sostituzione di specie 

 h minore di k che moltiplicala per T ////« sostituzione cayleyana. 



Neil' ipotesi, poi, che J sia reale, le prop. precedenti, in virtù del ter. 4 ' 2, possono 

 mettersi sotto la forma seguente : 



"3 - - Una sostituzione T reale non cayleyana, di cui — 1 è radice k — upla, è 

 sempre il prodotto di una sostituzione cayleyana per una sostituzione di T, di 

 specie k; e non è mai il prodotto di una sostituzione cayleyana per una sostitu- 

 zione di T di specie h minore di k. 



III. 



Classificazione delle sostituzioni non-cayleyane. 



9. Le non-cayleyane di prima e di seconda specie - - Diremo che una sostituzione 

 non-cayleyana è di specie k (le >» 0) se essa è il prodotto di una sostituzione cayleyana 

 per una sostituzione del gruppo T, di specie k, e non è mai il prodotto di una sostitu- 

 zione cayleyana per una sostituzione di V di specie minore di k. 



Questa def. non è che un' estensione della def. di specie, data nel P art. 6, per le so- 

 stituzioni di r, perchè una sostituzione I di T, di specie h, secondo quella def., è una 

 sostituzione non-cayleyana di specie k, secondo quest' ultima def. . 



Infatti, supponiamo che / sia il prodotto di una sostituzione cayleyana 8 per una so- 

 stituzione /' di r, di specie // : 



I = l'S; 



se ne trae 



ri — s, 



ma poiché il prodotto di due sostituzioni di F è una sostituzione di T, e 1' unica sostitu- 

 zione di r, che sia cayleyana, è l'identità, ne risulta I = S, e però I—I'. 

 Dalla prop. 8 ' 2 si deduce subito: 



1 — Una sostituzione non cayleyana T, d'ordine n, è di specie k allora e sol- 

 tanto quando il determinante | X — (-- J | ha la caratteristica n — k. 

 E dalla prop. 8 ' 3 si trae 



*2 — Una sostituzione reale non-cayleyana T, d' ordine n, è di specie k allo- 

 ra e soltanto quando — 1 è una sua radice k — upla. 



Effettuando una stessa permutazione sulle righe e sulle colonne della matrice di una 

 sostituzione ortogonale I, è chiaro che la caratteristica del determinante ! T -j- J | non 

 può mutare e quindi nemmeno la specie della sostituzione T. Perciò noi non consideriamo 

 come distinte due sostituzioni ortogonali quando l'una si può ottenere dall'altra effettuan- 

 do una stessa permutazione sulle righe e sulle colonne: quindi, essendo S una cayleyana 

 arbitraria : 



S = 2Z" 1 — J , 



assumiamo la rappresentazione 



Iiì...k S 



