Le sostitusioni ortogonali noii cayleyane 



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quindi non può assumere sempre il valore zero per tutti i possibili valori delle e, perchè 

 ciascuna di queste può assumere arbitrariamente due valori distinti assegnati, cioè -\-\ e — 1. 



Resta cosi dimostrata l'esistenza di una sostituzione 7 che moltiplicata per la data 

 sostituzione 7 produce una sostituzione cayleyana. 



Per conseguenza, tutte le sostituzioni ortogonali sono date dall' insieme : 



T(2Z- 1 — J) . (3) 



8. Perfezionamento del teorema di Prym — La rappresentazione ottenuta di tutte le 

 sostituzioni ortogonali, mediante la (3), ha però, come vedremo, l'inconveniente di non 

 dare sostituzioni tutte distinte. Per evitare ciò noi faremo uso di un'altra rappresentazione 

 che otterremo classificando opportunamente le sostituzioni non-cayleyane. A questo scopo 

 noi cominceremo col perfezionare il teorema precedente, dimostrando che: 



'1 Se T è una sostituzione non- cayleyana e il determinante j T -\- -T | lui la 

 caratteristica n — k, esiste una sostituzione I di specie k, che moltiplicata per T 

 dà una cayleyana . 



Infatti, poiché | T ~\- J | ha la caratteristica n — À\ esiste nel determinante | l-\-J \ 

 un minore principale, d'ordine n — k, che è diverso da zero (4'1). Sia tale per es. quello 

 che si ottiene da | T -j- J | sopprimendo le righe e le colonne d'indici r v r k , 



e consideriamo la sostituzione Tr l r 2 ...r k del gruppo T. 



Poiché 



I HV^» I = I (T+J)-(J—I ri r*..r k ) | , (4) 



posto 



a t = 1 — $i, (i= 1, 2,..., «), 



sviluppiamo il determinante (4) secondo i prodotti delle a,. 



Denotando con P rs ...t il minore principale del daterminante | T-\-J\ che si ottiene 

 da questo sopprìmendo le righe e le colonne d' indici r, s,..., /, otteniamo : 



I />,<,...', ! = I T+J j -2a, J P l -+2°'^ P o " -+(-ir^<3 2 ...o n , (5) 



' iti 



dove le somme s' intendono estese a tutte le combinazioni degli indici 1, 2,..., 11, rispetti- 

 vamente ad 1 ad 1, a 2 a 2,.... 



Ma, per ipotesi, | T -f- J \ = 0, e sono nulli tutti i minori di | T -f- J j d'ordine 

 // — l, n — 2,..., // — k-\- I, mentre il minore principale, d'ordine n—k, Pr,r t ...r n , è di- 

 verso da zero, ed inoltre o, è uguale a 2 pei valori r n r h dell' indice /', ed eguale 

 a zero pei' tutti gli altri valori di i: quindi la (5) diviene 



l /" /',',..•>, I •<-->' r,,,,..,, . 



e si conchiude che il determinante | 7 \- fr l r i ...ru \ è diverso da zero, e il prodotto 

 7;-,/. 7" è una sostituzione cayleyana. 



Dalla stessa (5) si deduce che tutti i determinanti della forma I 7-\-I s ,s» s I . se 

 h<CJi, sono nulli, e però : 



