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Michele Cipolla 



[Memoria II.] 



6. Il gruppo abeliano T — Denoteremo genericamente con / una sostituzione i cui 

 elementi principali sono eguali a -f- 1 o a — 1, e gli altri elementi sono tutti nulli: 



(e,— +1; r=ì,2,...,n). 



Evidentemente 



/ = I- 1 = I-i , 



cioè le 2" sostituzioni / sono ortogonali e di secondo grado. 



Rappresenteremo poi, in particolare, con I rs ...t 1 & sostituzione / che ha eguali a — 1 

 soltanto quegli elementi principali che appartengono alle righe r ima , s l " u ',..., t"" a . 



Si riconosce subito che una sostituzione I rs ...t moltiplicata a sinistra (destra) per una 

 sostituzione S, non fa che cambiare il segno agli elementi delle righe (colonne) di indici 

 r, 5,..., /. 



Evidentemente 



T rs — I r 1$ — I g I ,. , 



quindi le sostituzioni / formano un gruppo abeliano T d' ordine 2" , coli' invariante nu- 

 merico 2 di multiplicità n. Una base di questo gruppo è formata dalle sostituzioni 



h , / 2 In ■ 



Diremo che una sostituzione / è di specie k, se k è il numero degli elementi prin- 

 cipali di essa, che sono eguali a — 1. 



Una sostituzione / di specie k ha la radice — 1 di multiplicità k e la radice 1 di 

 di multiplicità — k. Per conseguenza, una sostituzione Idi specie k, se non è l'identità, 

 cioè se li > 0, è sempre una sostituzione non-cayleyana. 



7. Le sostituzioni non-cayleyane e il teorema di Prym — L' importanza del grup- 

 po r nella questione che trattiamo risulta manifesta dal teorema seguente 15 ) : 



"1 — Una sostituzione ortogonale qualunque d' ordine n è sempre il prodotto 

 di una sostituzione cayleyana per una sostituzione del gruppo T. 



La prop. è evidente se la sostituzione data è cayleyana. Sia dunque data una sosti- 

 tuzione T non-cayleyana e dimostriamo che esiste sempre una sostituzione / tale che il 

 prodotto IT sia una sostituzione cayleyana. Allora sarà anche dimostrata la prop. asse- 

 rita, perchè, posto S = 17], risulta T~ IS. 



Ora essendo IT -\-J = I(T-\- I), perchè la sostituzione IT-\-J sia propria occorre e 

 basta che il determinante | T-\-l \ sia diverso da zero. Ma esso è una funzione razio- 

 nale intera nelle variabili £,,£.,,...,£„, non identicamente nulla (perchè il prodotto e l s r ..s n 

 vi comparisce col coefficiente 1), ed inoltre lineare in ciascuna delle variabili stesse, 



') Salvo la forma esso trovasi nella citata Memoria di PRYM, v. nota 9 ). 



