Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 



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Infatti, essendo 



Z + Z_i = 2J , 



moltiplicando a destra o a sinistra per Z -1 si ottiene 



Z_, Z- 1 = 2Z" 1 — J = Z" 1 Z_, , 



quindi 



SZ[ = (Z_, z- 1 ):J = z- 1 Z_! = S , 



e però S è ortogonale e anche destrorsa perche 



|- 8 | = | z- 1 1 . | z_, | = | z r 1 | Z | = 1 . 



Noi- denoteremo costantemente con s rs l'elemento generico della sostituzione Z; quindi 



8 rr = 1 , s rs = — *«r , {r,s = 1 , 2,..., // ; r=|=s). 



Gli elementi della sostituzione ortogonale iS' sono espressi, in virtù della (2), da fun- 



.. . ,. n(n — i ) . _ . . . . 



zioni razionali degli parametri 3 ra . Ouesti possono essere scelti ad arbitrio, purché 



il determinante \ Z \ sia diverso da zero. Tale condizione è sempre soddisfatta se gii 

 elementi s rs sono tutti reali, in virtù di una proprietà nota dei determinanti pseudosim- 

 metrici ad elementi reali e cogli elementi principali eguali tutti ad uno stesso numero di- 

 verso da zero. 



Già sopra abbiamo dimostrato, come conseguenza del teor. 3 ' 2, la prop. inversa del- 

 la precedente, cioè : 



'li — Se S è una sostituzione ortogonale destrorsa che non ammette la radice 

 - 1, allora esiste una sosti/usioue propria pseudosimmetrica Z, cogli elementi 

 principali eguali a 1, dalla quale S è deducibile secondo la forinola (2) di Cayley. 

 Ma è anche facile dimostrare questa prop. direttamente. 

 Infatti, posto 



Z = 2 (S + J.)~\ 



si ha 



Z_, = 2 (S_i + Jr 1 = 2 (S- 1 -f J)- 1 = 2 (J H- S)" 1 S = Z (2Z- 1 — J) = 2 J — Z , 



è però Z è una sostituzione pseudosimmetrica cogli elementi principali eguali a 1. 



Noi distingueremo le sostituzioni ortogonali in cayleyane e non-cayleyane secondo 

 che esse siano prive o no della radice — 1. 



Dal teor. di Brioschi (2" 1) risulta che 



"3 — Le sostituzioni ortogonali sinistrorse sono tutte non-cayleyane. 



