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Mi di eie Cipolla 



[Memoria IL] 



Da questo risultato segue subito che i minori principali d'ordine p di | S-\-J | non 

 possono essere tutti nulli; ma allora dalla (7) si deduce 



£ = (- iyr* , '■■ 



e però dalla (6) : 



M pa = M ap . 



Resta cosi dimostrata la prop. : 

 1 ■ - Se S è una sostituzione ortogonale qualunque a" ordine n, e p è la ca- 

 ratteristica di j S-J-J | , allora n — p è pari o dispari secondo che S è destrorsa 



sinistrorsa , ogni minore d'ordine p di | S-f-J | è uguale al suo coniugato, e 



1 minori principali d' ordine p non sono tutti nulli. 



Neil' ipotesi, poi, che S sia reale, si deduce dalla (8) che i minori principali d'ordine 

 p di | S -f J | son tutti dello stesso segno, e poiché non sono tutti nulli, la loro somma 

 è diversa da zero. E allora, in base al teor. l'I, si conchiude: 



"2 - - Se S è una sostituzione ortogonale reale d'ordine n, er se p è la carat- 

 teristica di S-f-J, allora — 1 è radice di S di multi plicilà n — p. 



Teoremi analoghi possono stabilirsi prendendo in considerazione un minore di dato 

 ordine di | S — J | , ma essi non hanno, per il nostro scopo, l'importanza dei due teo- 

 remi precedenti. 



II. 



Sostituzioni cayleyane e non-cayleyane. 



5. Le sostituzioni cayleyane — Se S è una sostituzione ortogonale destrorsa che 

 non ammette la radice — 1, cioè se | S-f-J | =1=0, allora in virtù della prop. 3 " 2, la 

 sostituzione (S-|-J) _1 è pseudosimmetrica cogli elementi principali eguali ad — . Se quindi 

 si pone 



-f (S + J)-' = Z, (l) 



la sostituzione Z è pseudosimmetrica propria ed ha gli elementi principali eguali a 1. 



La (1), come si è già detto, conduce al metodo di Cayley per la costruzione delle 

 sostituzioni ortogonali destrorse. Infatti, se ne deduce 



S = 2Z- 1 — J, 



e questa, appunto, supponendo che Z sia una qualunque sostituzione propria pseudosim- 

 metrica cogli elementi principali eguali a 1, è la forinola di Cayley. Del resto è facile di- 

 mostrare direttamente che : 



'l — Se Z è una qualunque sostituzione propria pseudosimmetrica cogli ele- 

 menti principali eguali a 1, allora, posto 



S = 2Z- 1 — J , (2) 



si ha che S è una sostituzione ortogonale destrorsa. 



