Le sostituzioni ortogonali no// cayleyane 



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Questo risultato non è che un caso particolare del cosiddetto teorema di Stieltjes w ), 

 che ne discende, del resto, immediatamente : 



'4 — Se e S 2 sozzo dite sostituzioni ortogozzali destrorse d'ordine n, /'/ de- 

 terminànte | S, -(- S 2 | non può annullarsi senza che zzo// si annullino ti/Iti i 

 suoi minori d'ordiz/e n — 1. 



Infatti, essendo 



tf 4 + -s, = 0, OSr 1 fl t + J )> 



risulta 



I s, + s t | = i 8 t \ . i s,- 1 + J ! » 



e però la caratteristica del determinante | Sj X S L -f- J \ , mentre d'altra parte, essendo S^' ì S i 

 una sostituzione ortogonale, al determinante | »SV' -j- J | si può applicare il teorema pre- 

 cedente. 



Risultati analoghi si ottengono considerando il determinante | S—J \ . Si dimostra 

 infatti, collo stesso metodo, che : 



'5 — Denotando con v il determinante | S — J | e co// v,. s /' aggiunto di quel 

 s/10 elezizezzto cìze appartiene alla riga r ima e alla colonna s""', si ha 



[« + (- D"Jv„. = (— D" v, = 1)"-^,,, (r=|=s). 



Pertanto : 



'6 — Se n è pari ed i— — l, ovvero se n è dispari ed z~ 1, si ha 



v — , v,,,. = v si . ; 



se invece n è dispari ed e= — l, ovvero se n ^ />«;*/ prf e= 1, 5/ 



J_ _ _ 



E se ne discende la proposizione : 



"7 — Se T è zizza sostituzione ortogonale sinistrorsa di grado n dispari, il 

 determinante j T — J | //o;/ />//ò annullarsi sensa die zzo// si azzzzzillino tutti i 

 suoi zzzizzori d'ordine n — 1. 



4. Estensione del teorema di Stieltjes — Noi estenderemo la prop. 3 ' 3 prendendo 

 in considerazione un minore di un dato ordine del determinante | S -j- J | . Supponiamo 

 che questo determinante abbia la caratteristica p e consideriamo un suo minore M^- di 

 ordine p, essendo p, le due combinazioni a p a p dei numeri 1, 2,..., //, formate dagli 

 indici delle righe e delle colonne cui il minore appartiene: 



p = {z\ , r, , ... , r p ) , o = (s, , 5, , ... , s p ). 



u ) Questo teorema fu enunciato senza dimostrazione da STIELTJES, per le sostituzioni ortogonali destror- 

 se del terz' ordine {Ada Math., t. 6, a. 1883, p. 319). Esso fu dimostrato dal NETTO (ivi, t. 9, a. 1886, 

 p. 295; t. 19, a. 1895, P- lo 5) e generalizzato dal TABER (Proceed. 0/ lite London Malli. Soc, t. 27, a. 

 1893, p. 613-621); rientra però in una prop. dimostrata parecchi anni prima dal VOSS [Math. Ann., t. 13, 

 a. 1878, p. 320). 



