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Michele Cipolla 



[Memoria II.] 



Se poi 8 si suppone reale e si osserva che 



(S — xJ) (&_, -f xJ) = x [ (S - S-i) — (x --^ )J], 



e che 8 — , essendo reale ed emisimmetrica, non può ammettere radici reali diverse 

 da zero ( 1 '4) , si deduce che | 8 - xJ | non può annullarsi per un valore reale di .r se 



per questo valore non si ha x — = 0, vale a dire se non è x = + 1 . 



3. Il teorema di Stieltjes — Intorno ai minori d' ordine n — 1 dei determinanti 

 | 8-\-J | ed | 8 — J | si hanno notevoli proposizioni. Per stabilirle nella maniera più sem- 

 plice denotiamo con \L rs V aggiunto dell' elemento di | 8 -\-J'\ , che appartiene alla riga 

 r ima e a |j a co i onna s l,na f e( j osserviamo che \i rs si può rappresentare col determinante 

 d' ordine // che si ottiene rendendo nulli tutti gli elementi della riga r" nn di j S-\-J ] ec- 

 cetto V s""° che si fa eguale a 1. Ed allora, se il determinante così ottenuto e il deter- 

 minante \ 8 \ si moltiplicano per righe, e si pone, per semplicità, | 8 \ = e, j S-\-J j = |x, 

 si ottiene, se r — s, (Siacci) 1:1 ) : 



( 1 -f s) |t rr = !^ , 



e se r —\~ s : 



|l M — — S\L sr . 



Allora, se s = — 1, si ricava |i = (conforme al teorema di Brioschi), e \i. rs = \i. sr ; 

 quindi : 



'1 — Se S è una sostituzione ortogonale sinistrorsa, il determinante aggiun- 

 to di | S -f- J I è simmetrico. 

 Se invece e=l, allora si ha: 



V-rr = -7 l A , = — V-sr (3) 



quindi : 



"2 — L aggiunto del determinante \ S— j— J | , essendo S una sostituzione or- 

 togonale destrorsa, è un determinante pseudosimmetrico cogli elementi principali 



eguali « — I S -4- J I . 



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Questa proposizione è quella che dà ragione del metodo di Cayley (art. 5) per la co- 

 struzione delle sostituzioni ortogonali destrorse che non ammettono la radice — 1. 



Se poi |i == 0, allora la prima (3) dà subito \x rr = 0, e poiché sono nulli tutti i mi- 

 nori del second' ordine dell' aggiunto di | 8-\-J \ , dalla seconda (3) segue anche {i rs = 0; 

 quindi : 



- 3 — Se S è una sostituzione ortogonale destrorsa d'ordine n, il determinan- 

 te \ S 4~ J I non P"ò annullarsi senza che non si annullino tutti i suoi minori 

 d" ordine n — 1 . 



13 ) Annali di Mat., t. 5. a. 1872. p. 302. 



