Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 



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e però all' insieme delle ir condizioni (non tutte indipendenti) : 



ars = Ars , (r, S = l, 2, ... 77), 



e quindi anche all'insieme delle — n{n-\-V) condizioni (tutte indipendenti) n ) : 



( 1 , se r = s , 



a ri Cl st + Ciri "si + ••• + a rn = , (?', S =1, 2,..., 77) 



' , se 7' =|~ s . 



Dalla (1) segue subito 



| S\ = ± 1, 



donde la distinzione delle sostituzioni ortogonali in destrorse o sinistrorse, secondo che 

 il modulo è uguale a -f- 1 o a — 1. 



Intorno alle radici di una sostituzione ortogonale si ha il seguente teorema di 

 Brioschi 12 ) : 



•1 — L' equazione caratteristica di una sostituzione ortogonale è reciproca ed 

 ammette sempre la radice — 1 se la sostituzione è sinistrorsa, e la radice 4- 1 

 se è destrorsa di ordine dispari o sinistrorsa di ordine pari. 



Essa, inoltre, se la sostituzione è reale, non ammette radici reali diverse 

 da -f- 1 e — l. 



La dimostrazione di questo teorema si può condurre assai semplicemente così. Essendo 



(S — xJ)_i = «Sii - xJ= 8~ x — xJ = - xS~ l (S J) , 



x 



si ha 



| S — xJ | = (— x)". | S | . | S J | , (2) 



x 



quindi ogni radice dell'equazione | S — xJ \ — è radice dell'equazione | S —J j =0, 



x 



e inversamente, cioè 1' equazione caratteristica di S è reciproca. Facendo poi nella (2 

 x= 1, e x= — 1, si ottiene 



| S- J | .[(- 0" I 8 I - 1]=0, | S+J\ .( | S\ - 1) = 0, 



e però se ( — 1)" | 8 \ = — 1 , si ha \ 8 — J \ — , 



e se | 8 | = — 1 , si ha | 8 -f- J \ = ; 



quindi: tanto se S è destrorsa di ordine dispari, quanto se S è sinistrorsa di ordine pari, 

 si ha che -f- l è sempre radice di 8; e quando 8 è sinistrorsa, — l è sempre una sua 

 radice. 



") V indipendenza di queste condizioni fu dimostrata da RADOS (Math. v. Naturiu. Ber. aus Ungaru, 

 t. 16, a. 1898, p- 236-240. 



12 ) Journ. de Liouville, t. 19, p. 253. 



