Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 



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elementi della sostituzione pseudosimmetrica fondamentale le condizioni necessarie e suffi- 

 cienti perchè una sostituzione ortogonale sia non cayleyana di data specie. 



Infine io ritrovo subito la rappresentazione delle sostituzioni ortogonali simmetriche 

 (o involutorie), data dal Prym. 



Ho stimato però conveniente riprendere da principio la questione, sia per maggiore 

 chiarezza dell'esposizione, sia perchè il metodo di cui mi giovo, e che s'ispira alla teoria 

 astratta delle operazioni, nella sua parte più elementare, consente una tale concisione e 

 semplicità nella trattazione, che vai proprio la pena di presentare, con sì elegante veste, 

 quelle stesse conoscenze che già si hanno sull' argomento. 



I. 



Proprietà generali delle sostituzioni ortogonali. 



1. Notazioni. — Sia S una sostituzione lineare qualunque d' ordine // ed a rs 

 (/', 5=1, 2,..., n) il suo elemento generico. 



Con | S | si suole denotare il determinante, o modulo, di S, e se S è una sosti- 

 tuzione propria (cioè se | S | =|= 0), allora con S _1 denotasi 1' inversa di S, cioè quel- 

 la sostituzione il cui elemento generico a rs è uguale al reciproco di a sr in | 5 | . 



Noi denoteremo con S_] la trasposta 10 ) di S, ossia la sostituzione che si ottiene 

 cambiando nella matrice di S le righe in colonne, e quindi per rappresentare la contro- 

 gredieute di S (che è, nel tempo stesso, l' inversa della trasposta di S e la trasposta 

 dell'inversa di S) faremo uso del simbolo S_J. 



Con la notazione XS, essendo X un numero qualunque, rappresenteremo poi la sosti- 

 tuzione che si ottiene moltiplicando per X ogni elemento di S. 



Da queste definizioni seguono subito le proprietà: 



(XS)-' = X- 1 S" 1 , (XSU = XS_, , 

 | XS | = X' 1 | s | . 



In luogo di ( — 1)S useremo la notazione più semplice — S. 



Se T è pure una sostituzione lineare d' ordine e b,. s il suo elemento generico, con 

 le notazioni S-(-T ed S — T (che risalgono a Cayley) noi rappresenteremo le sostituzioni 

 somma e differenza di S e T, cioè quelle che hanno per elemento generico a rs -f- b,., e 

 a rs — b rs rispettivamente. 



Si riconosce subito che 



(S + TU = S_, -f 7_, . 

 Il prodotto ST delle sostituzioni lineari S e T (in quest' ordine, o della T per la S) 



10 ) Alcune altre notazioni sono state adoperate per la trasposta di una sostituzione S, per es. : S' 

 (PRYM, HlLTON), Si (WEBER), S (TABER), ma la nostra ci sembra più comoda, o più opportuna per le solite 

 ovvie proprietà del simbolo operativo — i. 



