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Michele Cipolla 



[Memoria IL] 



L'esistenza di sostituzioni ortogonali non cayleyane non permise al Netto nel citato 

 lavoro, per ragione, appunto, del metodo cui esso s'informa, di dimostrare completamente 

 la prop. di Stiei.tjes: egli raggiunse il suo intento, parecchi anni dopo, per altra via 5 ). 



Ma la questione della determinazione di tutte le sostituzioni ortogonali non risorse se 

 non con la memoria di Lipschitz 6 ) sulla teoria della trasformazione simultanea di due 

 forme quadratiche o bilineari. Quivi è completamente risoluto il problema della determi- 

 nazione delle sostituzioni ortogonali simmetriche , per mezzo di proposizioni generali e di 

 speciali nozioni, poste dall'Autore a fondamento delle sue ricerche sulle somme di qua- 

 drati ')• Questa memoria del Lipschitz diede occasione al Kronecker di fare alcune in- 

 teressanti comunicazioni all' Accademia di Berlino 8 ). Egli mostrò come le sue ricerche 

 sulla trasformazione delle forme quadratiche ben si prestavano alla determinazione delle 

 sostituzioni ortogonali simmetriche, e fece anche -varie osservazioni sulla rappresentazione 

 della più generale sostituzione ortogonale. Fra 1' altro egli dimostrò che una sostituzione 

 ortogonale non cayleyana è sempre il prodotto di due sostituzioni ortogonali cayleyane. 



Ma una più semplice risoluzione del problema generale diede, poco dopo, il Prym 9 ). 



Egli trovò che uno stesso principio fondamentale conduce tanto alla determinazione 

 di tutte le sostituzioni ortogonali che alla determinazione di tutte le sostituzioni involu- 

 torie (o di secondo grado) ; e il principio consiste in ciò che i 2" determinanti che si ot- 

 tengono da uno assegnato aggiungendo -f 1 o - 1 a ciascun elemento principale, non 

 possono essere tutti nulli. Questa proposizione, che si dimostra assai semplicemente, con- 

 duce subito al risultato intravisto dal Kronecker : 



Una sosti/ unione ortogonale non cayleyana si può sempre ottenere da una 

 sostituzione cayleyana cambiando il segno, nella matrice di quest' ultima, ad al- 

 cune righe (o colonne). 



La questione, però, richiedeva un ulteriore studio. Infatti, il metodo indicato da que- 

 st' ultima proposizione ha un doppio inconveniente: quello di non fornire sempre sostitu- 

 zioni ortogonali non cayleyane, e quello di non dare per le sostituzioni stesse una rap- 

 presentazione unica. In altri termini: può avvenire che una stessa sostituzione ortogonale 

 si ottenga in vari modi da una matrice cayleyana, e cioè cambiando il segno o a diversi 

 sistemi di righe o ad un numero maggiore o minore di esse. 



Col presente lavoro io mi propongo di completare la ricerca. Facendo uso di un' e- 

 stensione del teorema di Stieltjes che dimostro in modo semplicissimo per mezzo di una 

 proprietà dei determinanti caratteristici di una matrice , io ottengo un notevole perfezio- 

 namento del teorema segnalato dal Prym, e lo pongo a base di una nuova classificazione 

 in /'specie delle sostituzioni ortogonali non cayleyane. Raggiungo così, e in un modo che 

 mi sembra notevole anche per la sua eleganza, il duplice scopo prefissomi, ciò quello di 

 ottenere qualunque sostituzione ortogonale in un sol modo, e quello di esprimere negli 



5 ) Ada Malli., t. 19. a. 1895, p. 105; v. anche nota 



6 ) Malli, v. Natur . Mìttheìlungen aus dea Berlin Sitz., a. 1890, p. 319-357. 



') LIPSCHITZ. Vnlersuchungen ilber die Summen voti Quadrateli. Bonn, Cohen, a. 1886. 

 s ) Malli, v. Natur. Millheilungen aus den Berlin Sitz.. a. 1890. p. 359-375, 389-395, 457-465, 567- 

 579. 651-668. 



9 ) Gottingen Abhandlungen , t. 38, a. 1892, p. 3-43. Era già pronto il presente lavoro quando io ebbi 

 notizia di questa Memoria del PRYM : e debbo al cortese e sollecito invio che si degnò farmene 1' Autore , a 

 mia richiesta, se potei prenderne conoscenza in tempo. 



