Memoria II. 



Le sostituzioni ortogonali non cayleyane 

 Nota di MICHELE CIPOLLA 



Il problema della determinazione delle sostituzioni lineari ortogonali di un dato ordi- 

 ne n fu, coni' è noto, risoluto parzialmente (n = 2, 3, 4) da Euler 1 ), il quale intravide 

 anche la possibilità di esprimere gli ir elementi di una sostituzione lineare d' ordine u, 

 legati dalle — n (n -f- 1) condizioni di ortogonalità, mediante funzioni razionali di —n{n — 1) 

 parametri indipendenti. Ma vari ostacoli che, un secolo dopo, il metodo dei determinanti 

 doveva abbattere, impedirono a quel sommo geometra di risolvere il problema in genera- 

 le; tant' è che la forinola stessa delle sostituzioni ortogonali quaternarie fu da lui ottenuta 

 " nulla certa methodo sed potius quasi divinando „. 



Col sussidio, appunto, dei determinanti ottenne il Cayley 2 ) una soluzione generale 

 del problema. Conforme alla previsione di Euler, egli mostrò come si può costruire una 

 sostituzione ortogonale destrorsa, i cui elementi siano funzioni razionali di — n (u—l) 

 parametri indipendenti, utilizzando convenientemente un determinante pseudosimmetrico di 

 ordine //, cogli elementi principali eguali a 1. 



La forinola di Cayley non dà però tutte le sostituzioni ortogonali destrorse dello 

 stess' ordine //. Questo fatto importante (che pur si trascura di notare anche in trattati 

 recenti) non poteva sfuggire a un ricercatore profondo come il Kronecker. Si legge in- 

 fatti in un lavoro del Netto b ), intorno ad una proprietà delle sostituzioni ortogonali, enun- 

 ciata senza dimostrazione da Stieltjes 4 ), un'osservazione fatta all'Autore dal Kronecker, 

 e cioè che nella matrice di Cayley " si possono mutare i segni a un numero pari di linee, 

 senza che questa perda le sue proprietà caratteristiche, e senza che sia possibile dedurre 

 la nuova matrice da quella di Cayley mediante valori finiti dei parametri „. 



Quest'osservazione, per quanto notevole, non è tuttavia nè completa nè esatta, perchè 

 in essa non si afferma che tutte le soluzioni del problema si ottengono nell'indicato modo, 

 mentre, d'altra parte, non è vero, in generale, che una soluzione ottenuta nella maniera 

 anzidetta, non possa derivarsi senz' altro, con valori finiti dei parametri, dalla stessa fot- 

 mola di Cayley. 



') Novi Contili. Petrop., t. 15, a. 1767, p. 75; t. 20, a. 1772, p. 217. — Le prime proprietà delle so- 

 stituzioni ortogonali furono stabilite da CAUCHY (Eroe, de Malh., t. 4, p. 140) e da JACOB! (Creile I., 

 t. 12, a. 1827, p. 7). 

 * 2 ) Creile I., t. 32, a. 1846, p. 119. 



:ì ) Ada Malh., t. 9, a. 1886, p. 295. 



•'') Vedi nota u ). 



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