Memoria, XX. 



Sulle funzioni permutabili di seconda specie 

 Nota di CARLO SEVERINI ( * } 



Le considerazioni da me svolte in due recenti Note Sulle equazioni integrali di 

 prima specie del tipo Fredholm m si applicano con vantaggio, come ho accennato alla 

 fine della seconda di dette Note, e qui mi propongo di far vedere, nella ricerca delle fun- 

 zioni permutabili di seconda specie con una funzione data. Esse fanno tra 1' altro dipendere 

 la soluzione generale del problema da un insieme finito o numerabile di costanti arbitrarie ^\ 

 soggette, in quest'ultimo caso, alla condizione che converga la serie dei loro quadrati. 



Ali riferirò costantemente a funzioni sommabili insieme coi loro quadrati. Queste fun- 

 zioni dovranno pertanto considerarsi note, quando saranno determinate in tutti i punti del 

 campo dato, eccettuati al più quelli di un insieme di misura nulla, o, come suol dirsi, quasi 

 da per tutto, da insiemi di misura nulla intendendosi generalmente di fare astrazione. 



I. Condizioni necessarie e sufficienti perchè «lue funzioni (siano permutabili. ( 3 ) 



1. Sia F (x, v) una funzione sommabile insieme col suo quadro nel campo: 



(1) a ^ x ^ b, a <; y < : b . 



S' indichi con 



(2) f-v) , ?s (x) , , ? , (.v) , 



(3) <}>, (x) , ^ t.r) , <I>i (.r) , 



un sistema completo di coppie di autofunzioni ortogonali del nucleo F {x, v) e con 



\,\ , , h , 



(*) Presentata all' Accademia nell' adunanza del 14 giugno 1914. 



(1) Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma) voi. XXIII, serie 5 a , i° sem., fase'. 4" e 5" (1914), 

 (a) Un risultato analogo è stato recentemente ottenuto dal Sig. J. Pèrès sulle funzioni analitiche permu- 

 tabili di prima specie \Cfr. J. Pèrès: Sur les fonctions permutables analytiques ; Rendiconti della R. Acca- 

 demia dei Lincei (Roma) voi. XXII, 2 sem., fase. 12 (1913)]. 



(3) Per brevità tralasceremo di specificare ogni volta che si tratta di funzioni permutabili di seconda 

 specie, giacché è soltanto di queste che ci occuperemo. 



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