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Carlo Severini 



[Memoria XX. J 



la corrispondente successione di autovalori, per i quali si ha : W 



?( (.r) = X t F(x,y) <|>, (y) dy 



<h (.r) F (v, x) tpi ( v) tfy . 



S' indichi ancora con 



(4) 

 (5) 



(p ( (X) , cp 2 (.V) , . . . . 



due sistemi complementari, (5) ove esistano, rispettivamente dei sistemi (2) e (3). 



Affinchè ima funzione ( I> (x, y), sommabile nel campo (1) insieme col suo qua- 

 drato, sia permutabile con F (x, y) è, come si sa (6) , necessario e sufficiente , che 

 essa soddisfi alle equazioni : 



fb 



(6) 



(7) 



(8) 



<D (x,y) 



hix)^(y) h(x)fy(y) 



J a J a 



dx dy = o 



'b /*ó 



J a J a 



<& (x.y) cp, (x) cpj ( y) dx dy = o 



(t,J = 1,2, 



$ (x, y) <h (-v) <fe (3V <fce dy = o. 



a J a 



2. L' enunciato del precedente teorema può essere in vari modi trasformato. 

 Pongasi : 



fb 



(9) 



Aj (x) = I <X> (x,y) % (y) dy 



,j= 1,2, ....), 



(4) Cfr. E. SCHMIDT: Zur Th eorie der linearen und nichtlìnearen IniegralgleiChungen [Mathemati- 

 sche Annalen, Bd. LXU! (1906^ Heft 4, p. 462]. 



(5) Cfr. G. LAURICELLA : Sulla chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali e dei nttclei delle equazioni 

 integrali '0, 1-3 [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma) voi. XXI, serie 5 a (i° sem. 1912), fase. 11 ]. 

 Cfr. anche C SEVERINI : Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali, § 5 [Rendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXVI (2" sem. 191 3). ] 



(6) Cfr. G. LAURICELLA : Sopra le funzioni permutabili di 2 a specie [Rendiconti della R. Accademia dei 

 Lincei (Roma) Voi. XXII, serie s a (i° sem. 1913) fase. 6°]. 



