Sulle funzioni permutabili di seconda specie 



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e successivamente 



«/,<• = / Aj (x) <?i (x) dx , a jA — \ Aj (x)<f t (x)dx { i, f= 1, 



f'b 



Poiché il sistema delle funzioni ortogonali , costituito dalle (2) e dalle (4) , è chiuso, 

 si ha : 



4 {x)Jdx = Zi ci], ; Zi (t l (y== 1,2; .... ) 



Per la validità delle (7) è dunque necessario e sufficiente, che si abbia 



(7') 



Aj (x) 



dx — J£j aj i 



» a 



Analogamente, posto : 



(10) 



B, (y) = / 0(.v, v) h(x)dx 



(J= 1,2, 



(/= 1,2, 



e quindi 



b u = I B, (y) (v) dy , b u = / B, (y) ( y) dy (i, J = 1, 2, . . . . ) , 



si prova che le condizioni (8) equivalgono alle altre 

 (8') / \_Bi (y)J dy = Z. t b\i 



(/= 1,2, 



• ) 



Si ha così il seguente teorema : 



Affinchè la funzione <3> (x, y) sia permutabile con F(x,y), è necessario e suffi- 

 ciente, che i suoi coefficienti di Fourier : 



(9) 



A } (x) = / <D (x, y) (y) rfv 



(>*= 1,2, ), 



rispetto ad y ed al sistema delle funzioni ortogonali (2), soddisfino all' equazione 

 di chiusura di questo sistema : 



e /> 



f'b 



[/ (x) 2 = J^, «i 2 , a, = / /(.v) cp ( (.v) <te ; 



