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Cario Beverini 



| Memoria XX. 1 



ed analogamente : 



(16) B i (y) = V iii (y) + Z\ [F v+1>j (y) - V, . (y)] (/=1,2, 



con 



*M ( - v) = ^ 1*7 / *' ( ^ ^ ( ' — l » 2 ' } ' 



' . J'-*v 



ove le quantità j , 6,,, hanno il significato sopra detto, stabilito dalle (12). 



Le equazioni (11), (15) e (16) risultano equivalenti alle (6), (7), (8); ed è evidente 

 che esse rappresentano le condizioni necessarie e sufficienti , affinchè la ( I> (x,y) sia per- 

 mutabile con F{x,y), anche quando i sistemi (2) e (3) risultano chiusi, nel qual caso 

 vengono a mancare le condizioni (7) e (8) , e solo si ha da tener conto delle (6). 



In fine si osservi che se i sistemi (2) e (3) sono in particolare composti di un nu- 

 mero finito /// di funzioni, le (15) e (16) vengono rispettivamente sostituite <8 ' dalle equa- 

 zioni 



in 



( 1 5') 4 (.v) = Zi a,, i <p, (x) (j = 1, 2, ) 



i 



;// 



(16') B, (y) = Z, b u >h (y) U-1,2, ), 



i 



Dopo ciò possiamo enunciare il seguente teorema. 



Affinchè la funzione l I> (x, y) sia permutabile con F (x, y) , è necessario e suf- 

 ficiente che si abbia : 



(17) * (x,y) <ft (y) dv = U hj {x) -f2 v (*) ~ u \ó (*) 



7=1,2, ) 



con 



1 



r*+th 



U v.j ( " v) = 2^7 2i a itl j <?i (x) dx , 



ed analogamente : 



(18) 



l $(x,y) 'W(x) dx=V Ul {y) + 2v [Vv +1 , (y) - V^.{y, 



J a 



{i=l,2,....) 



con 



Cy+K 



J v — h 



(8) Cfr. C. SEVERINI. 1. C. (7). 



