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Carlo Severi ni 



[Memoria XX.] 



Risulta, come è noto (9) 



Aj (x) = Zr 



6r (X) 



h (y) ~r (y) dy 



f: 



B L (y) = Z r / 'h (x) K (x) dx 



!J ''' J a 



(7=1,2, ) , 



(*'= 1, 2, 



ove le serie dei secondi membri convergono assolutamente ed in egual grado, e si ha così 

 il teorema : 



Affinchè la funzione $ (x, y) sia permutabile con F (x, y), è necessario e suffi- 

 ciente che si abbia : 



e, (x 



(21) Zr JL ^ L 9/ (v) (y) dy = U XJ (x) + Zv (x) - th tJ (x) (j= 1,2,...), 



(22) Zr j (*) 6, ( v) dx = Vi ti (y) + Zv V*+i,t ( v) - 



(i=i;.2,...), 



oz^ /<? serie dei secondi membri hanno lo stesso significato, che nel teorema pre- 

 cedente, e le serie ilei primi membri convergono assolutamente ed in egual grado 

 neir intervallo (a, b). 



Se in particolare i sistemi (2) e (3) si compongono di un numero finito m di 

 funzioni, le (21) e (22) divengono : 



V) 



),<*) 



m 



<?, 0') T r ( 3') tfv = Zi a u <p t (x) (j=l,2, , ih), 



(22') 



v LlM / ^ ( .v) 6',. (.v) tf.r = X, 1 ; (x) (i =1.2,...., ni). 



J a 



5. — Consideriamo ora in particolare il caso che la funzione F (x, v) sia simmetrica, 

 e vediamo come si trasformino i due precedenti teoremi. Coincidono allora i sistemi (2) 

 e (3), si ha cioè : 



23) 



<p, ix) = $i (x) 



(/=1,2, ....). 



Le (11) divengono in questo caso: 

 di') a u =o 



; h -\- h) , 



(9) Cfr. E. SCHMIDT. 1. C. (4). 



