Curio Sederini 



[Memoria XX.] 



Il teorema del § 4 si semplifica anch' esso notevolmente nel caso presente, e diviene : 

 Affinchè la funzione ( I>(x,y) sia permutabile colla finizione simmetrica F(x,y), 

 è necessario e sufficiente, die si abbia : 



C b 



(ri w 

 Z,- <?j (v) t, (y) dy = Z, a h , cp, (.v) 



'.>■ , 



t, {x 



[>;■ 



(7=1,2,.....) 



U) 



(y) e,- (y) dy — Z, <*u fi [x). 



Ulteriori semplificazioni, che è superfluo indicare, si presentano nei due precedenti 

 teoremi, se si aggiunge l'ipotesi che anche la *I>(.v, _v) sia simmetrica: coincidono allora 

 i due sistemi (19) e 20), e le due funzioni F (x,y), ( I> (.v, v) hanno ufficio scambievole. 



II. Ricerca delle funzioni permutabili con una funzione data. 



6. — Riprendiamo le equazioni (6), (7), (8), contenute nel teorema del § l. 

 Trasformiamo, secondo una legge qualsiasi, le tre successioni 



(24) *l*>fcW _ , i, Mfl{ y h ♦, ( x,fc(y) (,;y=i,2, ) 



e in un unica successione 



(25) fi(x,y), A(*,y) ,/n(x,y), 



ed, escluse dalla (25) quelle funzioni, che risultano combinazioni lineari delle precedenti, 

 ortogonalizziamo la successione delle rimanenti. Sia 



(26) g l (.v,v), g z (x,y), , g n (x,y), 



la nuova successione, così ottenuta. 



E chiaro che le dette equazioni (6), (7), (8) equivalgono alle altre 



f f" 



(27) / / $ (x.y) g„ (x, y) dx dy = o (n=ì,2, ). 



J a J a 



Nel caso che la F(x,y) sia simmetrica, alle (24) si sostituiscono le successioni 



(28) cp, (x) co,- (y) (i,j= 1,2, ; X,- -\- X,.) 



(29) cp,- (X) ( y) , m t (x) cfe (y) (*, J = 1, 2, ) , 



