Sulle fini i ioni permutabili di seconda specie 



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ed ordinando le (28) e (29) in una successione semplice, questa risulta senz' altro com- 

 posta di funzioni ortogonali. 



7. — Da quanto precede si deduce che la ricerca di tutte le funzioni <!>(•-', v), 

 permutabili con F (x,y), equivale alla ricerca della soluzione generale delle equazioni in- 

 tegrali (27). 



Detta G (x, y) una funzione sommabile insieme col suo quadrato, e posto: 



A, 



G (x,y)g„ (x,y) dx dy 



( n = 1 . 



), 



(7 J a 



la successione 



(30) 



S,„ (x, v) = 2 n A„ g„ (x,y) 



in 



converge in media nel campo (1) ad una funzione (?, (x,y), unica e ben determinata, se 

 si eccettuano i punti di un insieme di misura nulla, sommabile insieme col suo quadrato ; 

 e la differenza 



(31) 



G (x,y) - G l (.r, v), 



ove non sia quasi da per tutte; eguale a zero, ci dà una soluzione delle (27). ' l0 ) D'altra 

 parte, se G (x, y) è essa stessa una soluzione di queste equazioni, risulta identicamente 

 G l (x, y) — o. La (31), quando vi si consideri la G (x,y) come arbitraria, rappresenta 

 dunque la voluta soluzione generale delle (27) . 



Vediamo come si possa rappresentare la G t (.r, v) . 



Dalla relazione 



(32) 



lini 



m — oo 



G { {x,y) — S m [x,v 



dx dy 



si ne 



icava ( 13 * 



(33) 



d'i / G { &7/)^1 =£ n A„ \ di 



(c, vj) dn\ 



Indicando pertanto, come sopra, con 



Ih , h 2 , , II, , 



fio) G. LAURICELI.A : .V- tpra i nuclei reiterali S * [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei (Roma) 

 voi. XX. serie 5 a d" sem. 1911)]. 



(ri) Cfr. G. LAURICEI.I.A, loc. Cit. (6), <? 6. 



(12) Cfr. C. SEVERINI : loc. cit. (1). Nota I, ? 3. 



(13) C. SEVERiNI. loc. Cit. (5). ? 2. 



