Sulle funzioni permutabili di seconda specie 



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ed a causa della (34) : 



G, (x,y) = W u {x,v) + S v [ W v+Ì> , (x,y) - (x,y)] + 



+ H p [ W 1>p+1 (x,y)- Wl , P + 



+ |-Sv [^v+x.p+x (^)-^v+x,p(^)-^v,p+i(^0')H-^(*0')](. 

 Concludendo si ha pertanto il seguente teorema : 



Le funzioni ( I> (x, y) permutabili con P"(x,y) sono tutte e sole le funzioni rap- 

 presentate dall' espressione 



G (x,y)-W hl (.v,v) - -2 V [^v+i, j (*00 -^(^V) ] - 



05) - £ 9 [^,p+r (*. y)- ^x,p (*. -y)] - 



~H p | ^v[^v +1 ,p + x(^)-^v+x,p(*,^ j, 



cw<? 5/' <? posto : 



W Vt? {x,v) = -^j- Zn A n J d r c J g n &rì)d'q, A n =j \ G (x,y) g„ {x, y) d.v dy, 



[n, v, p = 1, 2, 



G (x,y) essendo una funzione arbitraria, sommabile insieme col suo quadrato, ed 



hi , ^ 2 , , K , 



due successioni, comunque scelte, di numeri positivi, decrescenti, tendenti a zero. 



8. — Se la funzione F(x,y) è simmetrica, per il modo come viene allora formata la 

 successione (26), il cambiarvi fra loro x ed y porta solo un mutamento nell' ordine dei 

 termini di questa successione. Posto : 



(36) g n ( x, y) = g Pn (y, x) (n = 1,2, ) , 



se si suppone che anche G (x, v) sia simmetrica, risulta : 



(37) A pn = G (x,y) g Pn (x, y) dx dy = G (x, y) g n (x, y) dx dy = A n 



J a J a J a J a 



(«=1,2, ), 



cioè i coefficienti A„ sono a due a due fra loro eguali. 



