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Le funzioni simmetriche ( I> (x, y) permutabili colla funzione simmetrica F (x,y) 

 sono tutte e sole le funzioni rappresentale dall' espressione (85) , considerata 

 nel precedente teorema, quando come funzione G (x, y) vi si consideri una fun- 

 zione arbitraria, simmetrica, sommabile insieme col sua quadrato. 



9. — S' indichi con : 



( 38 ) g t ipc.y), g 2 (.v. v) , , g„ (x,y) 



un sistema complementare per il sistema delle funzioni ortogonali (26) ll7) . Questo siste- 

 ma è unico, nel senso che, trovato un tale sistema, ogni altro sistema complementare, o 

 meglio ogni altra soluzione effettiva delle equazioni integrali (27), può esprimersi me- 

 diante le (38). In particolare, nel caso che queste siano in numero finito, ogni altro siste- 

 ma complementare viene a contenere lo stesso numero di funzioni; questo numero è per- 

 tanto indipendente dal modo, col quale il sistema complementare viene realizzato. Tutto 

 ciò risulta dalle considerazioni, che andiamo ad esporre, le quali conducono ad una nuo- 

 va espressione della soluzione generale delle equazioni (27). (l8) 



Per una data soluzione effettiva ( D (x, yì di tali equazioni si consideri la successione 



HI 



S m (x t y) = 2 n B H g n (x, y) , 

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convergente in media nel campo (1) ad una funzione {X, y), unica e ben determinata, 

 se si eccettuano i punti di un insieme di misura nulla, sommabile insieme col suo qua- 

 drato (19) , alla quale compete (§ 7) la rappresentazione: 



V(x.y) = W\ A (x,y, -|- 2\ [ »'v +lll [*,y) ~ W Vfl {x, y) ] + 



(39) + <2 P [W ' I)P+I (x,y) - W' 1>? (x,y)] + 



+ H p ) [^'v+x.pH-x ix,y) - WVi.p ix,y) W' v>p+l (x,y) + W\, p (x,y) ] | 



ove : 



W\ p [x,y)=^ T - 2n B n dt g~ n (5, rj) dr { (v, p = 1, 2 ) , 



' J X—ky J J kp 



e le In , kp conservano lo stesso significato del § 7. 



Se in particolare la serie 2l„ B n g„ [v,y) converge nel campo (1), ovvero le (38) 

 sono in numero finito, si può anche scrivere : 



(39') ®(x, v) = 2„ B„ g n (x,y), 



(17) Cfr. G. I.AURICELLA, loc. cit. 5, \\ 1-3 — C. SEVERINI, loc. cit. (5), ? 9. 



(18) Cfr. C. SEVERINI, loc. cit. (1). Nota II, % 1-2. 



(19) Cfr. G. LAURICELLA, loc. cit. (10). 



B„ = 



$ (x,y)g„ (x,y) dxdy, 



