Sulle funzioni permutabili di seconda specie 



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tali che, se le (38) non sono in numero finito, converga la serie J£„ C n 2 , e s' indica con 

 $>\(x,y) la funzione, alla quale nel campo (1) converge in media la successione 



(44) S' m (x,y) = 2n C n g„ (x,y) , (m = 1,2,....), 



i 



si trova, come precedentemente : 



r r 



/ / 0\ (.v, y) g n (x,y) d.v dy =o (»= 1, 2, . . . . ) . 



J a J a 



e perciò la funzione ( l>\ {x,y) è una soluzione delle equazioni integrali (27), per la quale 

 si ha : 



(45) <S>\ <x,y) = Z lA (x, y) + [ Z v+M (x,y) - Z y T (x,y)] -f 

 - A rZ 9 [Z i p+1 (.v.v) — Z I>p (-v,v)] + 



-f 2p ) 2 V [ Zv+i, p+i z v-f x ,p (- r vV) — 2 V p+1 (.v, y) + Z y .pU%3')] j , 



ove 



l 



ed anche : 



(.v, v) = ^ n C n g n (x, y) , 



se le (38) sono in numero finito, ovvero la serie, che è al secondo membro, converge nel 

 campo (1). 



Riassumendo si può enunciare il seguente teorema : 



Le funzioni <I> (x, y), perniili abili con F (x, y), sono tutte e sole le funzioni rap- 

 presentate dair espressione 



Z u (.r,v)-f £v [ z v+i,i (■*, 3') — 2 v>1 (.v, v) ] + 

 (45) + £ 9 [ Zi, p+i y) — Z i p (.r, v)] + 



+ 2; p | [ Z v+lì p f : U\v) — Z vH _ I)P (x,v) — Z v>p+1 (.r,y) + Z v>p (x,y)] (, 



cw£ 5/ ha : 



,r-/i v J j>— kp 



Zv,p{x,y)=^± r 2, t C n \ d\ j gn&iùdn, 



ATTI ACC, SERIE V. VOL. VII — Meni, XX. 



