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Carlo Serenili 



[Memoria XX. J 



e s'intende che le 



(38) g { (x,y), g 2 (x,v) , g n (x,y) , 



formino un sistema complementare per il sistema delle funzioni ortogonali (26); 

 che le 



(43) C t , C, , C 



siano costanti arbitrarie, coordinate alle (38), soggette, se in a iutiero infinito, alla 

 condizione che converga la serie dei loro quadrati ; per ultimo che le 



Ih, h,, , hv , , 



K , K , k P , 



costituiscano due successioni, comunque scelte, di numeri positivi, decrescenti, ten- 

 denti a zero. 



Nel caso che le (38) siano in numero finito, le funzioni 0(x, y), permutabili 

 con F (x, y), sono tutte e sole le funzioni rappresentate dalla 



2n Cn J n {x, V) . 



10. — Se la F{x,y) è simmetrica, poiché le funzioni 



tfi {x) cp, ( v) , cp, (x) cp, (y) , ft (x) % (y) , cp, (x) cp, (y) [i,j = 1,2, ), 



insieme prese, costituiscono un sistema chiuso di funzioni ortogonali (20) , il sistema (38), 

 complementare per il sistema (26), formato allora dalle (28) e dalle (29), si ottiene imme- 

 diatamente, considerando le funzioni 



(46) cp, (x) 9 , (v) (i,j=l,2, ; h = h ) 



(47) yp.x) yj (y) (i,J= 1,2,....), 



ed in particolare le (46), quando il nucleo F{x,y) sia anche chiuso. Nell'uno e nell'altro 

 caso il sistema (38) viene a contenere infinite funzioni, e, come ben si vede, il cambiarvi 

 fra loro x ed y può solo produrre un mutamento ned' ordine dei termini di tale sistema. 



(20) Cfr. G. LAURICELLA : Sopra l'algebra delle funzioni permutabili di 2 A specie [Annali di Matema- 

 tica pura ed applicata, Tomo XXI, Serie III, $ 3, ri]. 



