Sul/c funzioni permutabili di seconda specie 



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Da ciò si deduce che , se <I> (x,y) è una funzione simmetrica, permutabile colla funzione 

 simmetrica F(x,y), e si ha: 



(48) g n (y,x)=g qn (.r, v) (« = 1,2, ), 



deve essere (§ 8) : 



B Qn = I I ® &,y) Sa n (*> - V) (Lv = I * ( X > - V) &" ( X > V) dX ' /V = B » 



a J a 



(n = 1, 2, 



cioè i coefficienti B„ risultano due a due fra loro eguali. 



Viceversa si scelgano le costanti (43) in modo che , ferma restando la condizione 

 che converga la serie dei loro quadrati, si abbia, in relazione alle (48) : 



(49) C n = C qn (#1=1,2, ). 



La corrispondente funzione ( I>' ( (x, y), permutabile con F(x,y) (§ 9) , a causa della 

 •convergenza assoluta (§ 8) della serie 



/ <$>\ (£, yj) dr\ = Z„ C„ 



X 



gn (5,'J) d'I 



risulta necessariamente simmetrica. Si ha così il seguente teorema : 



Le funzioni simmetriche O (x,y), permutabili colla funzione simmetrica F (x, y), 

 sono tutte e sole le funzioni rappresentate dall' espressione (45), considerata nel 

 precedente teorema, quando le costanti arbitrarie ('„ , ivi contenute, soddisfino 

 in più aite relazioni 



(49) C n = C ( . (n = 1,2, ), 



posto ci/e si abbia. 



(48) 



g„ ly, x) =g an ix,y) 



(n 



1, 2, 



Le condizioni (49) vengono a mancare ed ogni funzione permutabile con F (x, y) è 

 necessariamente simmetrica, se simmetriche sono le g n (x, y). È questo il caso di un nu- 

 cleo F (x, y) simmetrico, chiuso, di cui ogni autovalore abbia come indice 1' unità, perchè 

 allora risulta : 



g n ( x ,y) = (x) o„ (y) (« = 1, 2, ) . 



