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Carlo Severini 



[Memoria XX.] 



Si può dunque aggiungere il risultato: 



Se F (x, y) è un nucleo simmetrico, chiuso, di cui ogni autovalore abbia come 

 indice r unità, tutte le funzioni permutabili con F (x, y) sono simmetriche. 



11. Con ciò che precede il problema della ricerca delle funzioni permutabili colla fun- 

 zione data F (x, y) si può dire pienamente risolto. Giova ora analizzare i due differenti 

 modi di rappresentare la soluzione generale del problema, cioè le espressioni (35) e (45), 

 dipendenti, la prima da una funzione arbitraria G [x, y), sommabile insieme col suo qua- 

 drato, la seconda da un insieme finito o numerabile (43) di costanti arbitrarie, soggette 

 alla condizione che converga la serie dei loro quadrati. Quest' ultima espressione, per il 

 modo stesso come è stata ottenuta, fornisce sempre, per ogni sistema di valori assegnati 

 alle costanti (43), una soluzione effettiva delle equazioni integrali (27), cioè una funzione, 

 che non è quasi da per tutto eguale a zero, permutabile con F (x, y). Di più ognuna di 

 tali funzioni, permutabili con F (.v, y) f viene dalla (45) fornita una sola volta. 



Altrettanto non può dirsi della (35). A prescindere dal fatto che non sempre essa ci 

 dà una soluzione effettiva delle {'11), la (35) presenta in più 1' inconveniente di fornire 

 infinite volte una medesima soluzione effettiva. Si consideri infatti una funzione qualsivo- 

 glia G {x, y), sommabile insieme col suo quadrato. La soluzione delle equazioni (27), che 

 ad essa fa corrispondere la (35), è data dalla differenza 



ove G i (x,y) è (§ 7) la funzione, alla quale, nel campo (1), converge in media la suc- 

 cessione (30). La funzione (31), supposto che non risulti quasi da per tutto eguale a zero,, 

 viene evidentemente rappresentata dalla (45), quando, in luogo delle costanti C n , vi si so- 

 stituiscano i suoi coefficienti di Fourier, rispetto al sistema delle funzioni ortogonali (38) 



(31) 



G (.v, v) — Gj (.v, v) , 



D n — 



G(x, v) — G, [x,y) 



{x, y) dx dy 



(n =1,2 



),. 



che coincidono coi corrispondenti coefficienti di Fourier della G (x, y) 



Dall' eguaglianza (§ 7) 



= co 



lim 



