Sulle funzioni permutabili di seconda specie 



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si ricava infatti (§ 9): 



r r _ /'"/•- 



/ G L (x,y)g p (x,y) dxdy = £ n A n \ \ g p (x,y)g n {x,y) dx dy = o 



a J a 



e quindi : 



D n = I G (x,y) g n (x,y) dxdy 



(»= 1,2, 



Se ne deduce, per quanto è stato dianzi detto, che un' altra funzione G' (x, y) som- 

 mabile insieme col suo quadrato, fornirà la stessa soluzione delle (27), corrispondente a 

 G (x, y), allora e solo allora, quando si avrà : 



[ G (x,y) - G' (x,y 



g n (x, v) dx dy = o 



(n = 1,2, 



quando cioè G' (x, y) differirà da G (.v, y) per una soluzione effettiva delle equazioni in- 

 tegrali 



(50) f I « (x,y)g„ (x,y) dx dy = o (» = 1, 2, . . . . ) , 



Risulta altresì da quanto precede che, se si ha quasi da per tutto G (x, y) — G i (x, y) = o, 

 deve necessariamente la G (x,y) essere una soluzione effettiva di queste equazioni (50). 

 Viceversa se : 



Cb fb 



G (x, y) g n (x, y) dx dy = o [n = 1, 2, ), 



a J a 



osservando che il sistema delle funzioni ortogonali (26) è complementare pel sistema (38), 

 con ragionamento perfettamente analogo a quello svolto nel § 9, per provare 1' equaglianza 

 fra le due funzioni ( P (-v,y), U',y), si arriva subito a concludere che è G (x,y) — 

 — G i {x,y) — o. 



Si può aggiungere che la soluzione generale delle equazioni (50) è rappresentata (§ 9) 

 dalla seguente espressione 



T v (x, y) + v„ [ r v+I(1 (x,y) - r Vfl (x, y) ] + 2 9 [ T x> p+I [x,y) - 1\ {J (x,y) ] + 

 + £ f j <£ v [ 7 v+i, pH-i (■*, v) - ^vfi, p (.v, v) — r VfP+1 (.r,y) + 7^ (.v,y) ] J , 



