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Giorgio Aprile 



[Memoria XX1L] 



mostra che viceversa ogni superficie di quel tipo si può considerare quale contorno appa- 

 rente di una siffatta varietà T. 



Nel Cap. IV si dà un cenno delle trasformazioni doppie triple e quadruple dello spazio 

 alle quali si perviene proiettando la verietà T dal punto P, nei tre casi accennati nel pre- 

 cedente Cap. 



La prima trasformazione porge 1' occasione di costruire una superficie d' ordine 5, con 

 oo 1 coniche giacenti, a coppie, in piani di uno stesso fascio, la quale superficie, inoltre 

 possiede come doppie una cubica gobba ed una corda di questa ed ha quattro punti tripli. 



CAP. I. 



Costruzioni e proprietà. 



1. — Sia r una varietà del 4° ordine, di S 4 , con rigata cubica normale doppia cp, e 

 P un suo punto generico. Detto a l'unico piano passante per P e secante cp lungo una 

 conica, ogni raggio di o uscente da P ha più di quattro punti comuni con T, cioè a giace 

 in r, e poiché P è punto generico di questa si deduce: 



La varietà T ammette co 1 piani ; ognuno di questi seca cp lungo una conica. 

 Per ogni punto di 'f passano due piani non cospaziali di T le cui coniche, non de- 

 generi, hanno quel punto a comune. 



2. — Detto a, a' due piani generici di T e c, c le coniche epa , epa' rispettivamente 

 per ogni punto P di c passa, oltre a, un solo altro piano t. di Y variabile con P e secante 

 c in un punto P' . — La retta PP' non è, in generale, generatrice di 9, sicché detta p 

 la generatrice di <f passante per P, e P" il punto pc, al variare di P in c varia la cop- 

 pia P', P" in c . I due punti uniti della corrispondenza biunivoca fra i punti P' P", in 

 in tal modo stabilita, forniscono due sole generatrici t, t i di cp giacenti in due piani t, 

 t 1 di r, piani cospaziali poiché hanno la direttrice d di cp a comune : cioè 



La varietà V ammette dite {soli) piani cospaziali : essi sono i soli a conica 

 (di cp) degenere e passano per la direttrice d di cp. 



Tali piani ed il loro spazio saranno chiamati singolari di Y ed indicati con t, t tJ p 

 rispettivamente. 



3. — Lo spazio singolare p seca T nei predetti piani e in una quadrica q le cui due 

 schiere indicheremo con V F e } ¥ l rispettivamente ; *F essendo quella a cui appartengono 

 le generatrici /, ti predette. — Evidentemente i raggi di *F t sono tracce su p dei piani di 

 r, sicché 



Esiste una schiera *F di rette incidenti a tutti i piani di T e genericamente 

 non poste in alcuno di essi: tale schiera appartiene allo spazio singolare di T e 

 contiene le due generatrici di cp giacenti in tale spazio i 1 ). 



( l ) L'esistenza di tale schiera 1" si può dimostrare anche direttamente. Basta difatti osservare che le 

 rette incidenti a quattro piani generici dell' S 4 formano una varietà cubica dell' S 4 (Cfr. SEGRE Sulle varietà 

 cubiche dello spazio a quattro dimensioni Memorie R. Acc. Scienze di Torino 1889); sicché, considerando 

 quattro piani di T, la varietà cubica che ne risulta incontra T nella cp contata due volte, nei quattro piani 

 predetti ed in una quadrica residua, luogo di quelle rette. 



