Sulla varietà, dell' S, , del quarto ordine con rigata cubica normale doppia 3 



4. — Le proprietà del n. precedente sono caratteristiche per V. — Difatti data una ri- 

 gata cubica normale cp di S 4 , uno spazio p, passante per la direttrice d della cp, il quale 

 sechi questa ulteriormente nelle generatrici h, data ancora una quadrica q, passante 

 per /, t L e detta l F la schiera di q a cui appartengono quest' ultime, la sua coniugata Ti 

 sarà costituita da corde di cp. Ma per ogni corda di una rigata cubica normale cp passa, 

 come è noto, un solo piano che sechi tale rigata in una conica, sicché esistono oc 1 piani 

 secanti cp lungo coniche ed incidenti p nella — La costruzione di tali piani può effet- 

 tuarsi come segue : 



Dalle rette /, /, proiettiamo i punti di cp, ed indichiamo con (t), (/J i due stel Ioidi di 

 piani così ottenuti ; stelloidi proiettivi fra loro in una omografìa co essendo piani corri- 

 spondenti quelli che proiettano un medesimo punto di cp. 



Inoltre siano : (/, p), (t i p) i due fasci di piani generatori di q, le la relativa proietti- 

 vità, e (t u p i ) , (/, p 2 ) gli omologhi di essi in cu, co -1 rispettivamente. — I fasci (/, p), 

 (/, p 3 ) risultano, in tal modo, proiettivi fra loro, (nella k<o ') , epperò le coppie di piani 

 omologhi determinano spazi di un medesimo S 4 — cono quadrico che indicheremo con C. { . 

 Analogamente i fasci (/, , pj e (l L , p), corrispondenti ai primi nella omografìa w, determ- 

 nano un inviluppo C' 2 di spazi riferito proiettivamente, in o>, a C„ . Ciascuna coppia di 

 spazi omologhi degli inviluppi predetti ha in comune un piano secante cp lungo una conica. 

 Gli oo 1 piani siffatti sono evidentemente tutti e soli i piani secanti cp lungo coni- 

 che ed incidenti p nei raggi di X Ì\ . — Essi formano una varietà T del 4° ordine 

 con la rigata cubica cp quale doppia. 



Difatti 1' ordine 4 si ottiene osservando che su una retta generica r dell' S 4 i predetti 

 C 2 , C 2 ' determinano una corrispondenza ( 2 ) (2, 2), epperò 4 punti uniti che sono i punti 

 d' incontro di r con la varietà T. — Che la rigata cp sia doppia per F risulta dal fatto 

 che ciascun punto di cp è comune a due piani omologhi nella co, piani per ciascuno dei 

 quali passa una coppia di spazi del relativo inviluppo (C,C/), epperò per ogni punto di 

 cp passano due piani di l 1 . 



Si conclude pertanto : 



Ogni varietà V del 4° ordine, con rigata cubica normale doppia cp, risulta 

 luogo dei piani comuni a coppie di spasi omologhi di due S l — coni quadrici rife- 

 riti proiettivamente fra loro e tali che lo spazio dei due S, — centri appartenga ad 

 entrambi. 



Quest' ultimo spazio contiene 1' unica coppia di piani cospaziali della varietà : son 

 questi i piani singolari di T, e quello lo spazio singolare. 



5. — Dati due Si — coni quadrici di spazi C 2 , C'% a sostegni /, sghembi, aventi 

 a comune lo spazio tt l e riferiti proiettivamente fra loro in una omografia co, si è visto 

 (n. 4), che gli oo 1 piani comuni alle coppie di spazi omologhi, dei predetti coni, determi- 

 nano una varietà del 4° ordine con rigata cubica normale doppia : rigata che è quella ge- 

 nerata dagli stelloidi (jf) , di piani omografici nella co. — Indicando con p lo spazio 

 /, t l esistono in esso due piani di T, e precisamente quello, x , determinato da p e dal 



( 2 ) Cioè dato un punto A di r per esso passano due spazi «j a 2 di C% ai quali corrispondono in od gli 

 spazi a\ , a\: — i punti A\ A\ , in generale distinti, comuni a questi spazi e ad r li assumeremo quali cor- 

 rispondenti di ./. Analogamente: per ogni punto ./' di r passano due spazi di C\ ecc. 



