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Giorgio Aprile 



[Memoria XXII.] 



suo omologo in io -1 , ed il piano t t corrispondente a t in co. — La quadrica generata dai 

 fasci proiettivi, tracce su p dei due S x — coni dati, sarà evidentemente l'ulteriore interse- 

 zione di p con r : p, x, ti risultano lo spazio ed i piani singolari di V , rispettivamente : 

 Per cui: Nel/' S 4 due S t — coni quadrici di spasi, a sostegni sghembi tali che 

 il loro spasio sia a quelli comune, e riferiti proiettivamente fra loro, 'generano 

 una varietà del 4° ordine, (luogo dei piani comuni a spasi omologhi), con rigata 

 cubica normale doppia. 



6. — Dalle considerazioni del n. precedente (oppure dall' esistenza della 3^) risulta 

 che gli co 1 piani di Y riferiscono proiettivamente le generatrici /, /, di cp appartenenti allo 

 spazio singolare di T, sicché : 



Ogni varietà Y del 4° ordine con rigata cubica normale doppia cp risulta luogo 

 degli oo 1 piani secanti cp lungo coniche e ciascuno passante per due punti corri- 

 spondenti di due determinate generatrici di cp, riferite fra loro proiettivamente. 



E inversamente: date due generatrici /, t i di cp, riferite proiettivamente fra loro, gli 

 co 1 piani delle co 1 coniche di cp passanti per le coppie di punti omologhi di /, t i gene- 

 rano una varietà Y del 4° ordine con ce doppia. — Dìfatti se i predetti piani si proiettano 

 da /, e / t si ottengono due S { — coni quadrici, C 2 , Ci. Questi si possono riferire biuni- 

 vocamente assegnando quali spazi omologhi quelli ottenuti proiettando uno stesso piano : 

 sicché (n. 5) è vero quanto è sopra asserito. 



Dal n. 2, e con analoghe considerazioni, si ha ancora: 



Ogni varietà Y del -A ordine con rigata cubica normale doppia cp risulta luogo 

 degli cxd 1 piani secanti cp lungo coniche, e ciascuna passante per due punti corri- 

 spondenti di due coniche di o, riferite proiettivamente fra loro, e appartenenti a 

 piani di Y. 



Il teorema inverso si può dimostrare riferendoci a quanto fu detto al n. 2 e proce- 

 dendo in modo analogo a quellu tenuto per la precedente costruzione. Del resto ci dispen- 

 siamo dal fare tale dimostrazione perchè i precedenti teoremi ed altre costruzioni risulte- 

 ranno in seguito per altra via ( 3 ). 



7. — Un'altra costruzione di Y, diversa da quelle accennate in fine del n. precedente, 

 si ottiene osservando che una rigata cubica normale cp dell' S 4 , ed un piano ~ che la sechi 

 in una conica, possono considerarsi quale superficie base del fascio degli S — coni quadrici 

 che proiettano cp dai punti della conica di t. — Sicché dati due fasci e , e' di So — coni 

 quadrici dell' S 4 , riferiti proiettivamente fra loro in una omografia cu, siano v, v' le loro 

 superficie quartiche basi. Il luogo delle intersezioni delle coppie degli S& — coni omologhi 

 nella w risulta una varietà del 4° ordine ( 4 ). 



Supponiamo v costituita da un piano ~ e dalla rigata cp; v' da un piano % l e dalla 

 medesima cp: risulta allora che le coppie di So — coni omologhi nella co determinano oo 1 

 piani i quali formano una varietà Y del 4° ordine con la rigata cubica cp doppia ( 5 ). 



( 3 ) V. n. ii nota 7. 



( 4 ) Difatti i due fasci dati stabiliscono fra i punti di una retta generica una corrispondenza (2, 2) i cui 

 4 punti uniti sono quelli comuni alla retta ed alla varietà. 



( 5 ) Che » sia doppia risulta dal fatto che una corda generica di <o non incontra V oltre i due punti in 

 cui tale corda seca <?. 



