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Giorgio Aprile 



| Memoria XXII.] 



Inoltre poiché i piani incidenti la direttrice d di co e secanti questa lungo coniche 

 sono tutti e soli i piani passanti per la direttrice medesima e per ciascuna generatrice, si 

 ha che : 



Le due rette di V uscenti dal punto fondamentale O' di ~' sono in generale 

 distinte. Cioè l' inviluppo predetto di raggi determina una conica luogo k' non passante, 

 in generale, per O', e quindi immagine di una quartieri k razionale normale giacente 

 sulla rigata cp e secata in due punti da ogni generatrice di questa: sicché possiamo 

 concludere : 



La varietà T si può considerare costituita da piani tangenti ad una siffatta 

 quartica k di cp e secanti questa lungo coniche. 



10. — Ci proponiamo qui di dimostrare che ogni varietà del 4° ordine con rigata 

 cubica normale doppia cp di S 4 si può generare nel modo esposto al n. 8. Difatti detta T 

 una tale varietà, ripetendo per essa il ragionamento del n. 1 si deduce che: T è luogo 

 di oc 1 piani secanti cp lungo coniche. 



Inoltre osservando che una sezione spaziale generica di T risulta una rigata del 4° 

 ordine con cubica gobba doppia s, ad ogni punto A di s si possono far corrispondere 

 i due punti in cui le due generatrici, della rigata, uscenti da A incontrano ulteriormente s. 

 Otteniamo così una corrispondenza involutoria (2, 2) fra i punti di una sezione spaziale 

 generica di 9: le rette ciascuna passante per due punti corrispondenti sono le traccie dei 

 piani di r sullo spazio che si considera : ciò basta per concludere quanto ci siamo pro- 

 posti in questo n. 



11. - - Dato, sul piano %' su cui rappresentiamo cp, un inviluppo V di rette, della 

 seconda classe, e del resto generico, fissiamo sul detto piano una conica generica c '. 

 Detto A' un punto qualsivoglia di tale conica, le due rette di T' passanti per esso se- 

 cano ulteriormente c' in due punti A\, A'o che assumeremo quali corrispondenti di A'. 

 La corrispondenza (2, 2) così formata è evidentemente involutoria, e gli co 1 raggi, ciascuno 

 passante per due punti corrispondenti, coincidono con i raggi dello inviluppo T'. 



Inoltre il ragionamento che precede vale anche nel caso che la conica c passi per il 

 punto fondamentale O' di % , ovvero che essa sia costituita da una coppia generica di 

 rette ( 7 ) del piano Ed osservando che le coniche generiche c sono immagini di quar- 

 tiche razionali normali della rigata 9, che ciascuna conica passante per 0' è immagine di 

 una sezione spaziale della medesima, e che infine ciascuna coppia di rette di % ' è imma- 

 gine di due coniche di cp, si ha che la corrispondenza involutoria (2, 2) succennata sussiste 

 anche su ciascuna di dette curve. 



E poiché ciascuna di queste si può considerare quale proiezione di sezioni iperplanari 

 della superficie di Veronese si può concludere (n. 9): 



La varietà F del 4° ordine con rigata cubica normale doppia cp dello spazio 

 a quattro dimensioni è proiezione della varietà {a 3 dimensioni) costituita dagli 

 00 1 piani delle coniche di una superficie di Veronese, ciascuna passante per due 



Q) In particolare: la coppia di rette, dell'inviluppo V, uscenti da O' ed una coppia qualunque di rette 

 dell' inviluppo medesimo, conducono, rispettivamente, a dimostrare che le proprietà enunciate al n. 6 sono 

 caratteristiche per T : di qui altre due costruzioni della varietà. 



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