Sulla varietà, dell' S 4 , del quarto ordine con rigata cubica normale doppia 11 



presentativi anche delle coppie di generatrici della f 3 uscenti dal punto che si con- 

 sidera. 



2-1. — Detta k 3 la cubica sezione di f 3 con un piano v generico di u, la immagine 

 k' 3 sarà una cubica del piano avente un punto doppio in G' (G'= gu), ivi tangente 

 alla coppia di rette immagini del punto doppio k 3 (n. prec), e passante semplicemente ( 15 ) 

 per i punti P' , P',, (n. 20). 



25. — Se v è piano tangente ad f 3 in un punto M che non appartenga a nessuna 

 delle due direttrici rettilinee, la cubica piana v/" 3 risulta costituita dalla generatrice in di f 3 

 uscente da il/, e da una conica k 2 , aventi per immagine rispettivamente: una retta ///' del 

 fascio (G) ed una conica passante per G' , P\ P\ e tangente ( 16 ) in G' al raggio m' i 

 coniugato ad ni nella involuzione /'. Discende di qui : 



La conica c di ~' considerata nella f 3 di oc ha per immagine in a' la conica 

 c, passante per P', P' t> R', G', e tangente in quest'ultimo punto alla b\ (u. 23 a), 

 e viceversa. 



Inoltre risulta facilmente che gli co 2 piani di a uscenti dal punto A=gd determinano 

 tutte e sole le sezioni piane di /à ognuna delle quali è rappresentata da ciascuna della 

 oc 2 rette di oc'. E viceversa. 



Ed ancora, poiché le rette tangenti alla conica c immagine di c in a sono proiezioni, 

 da A, delle tangenti alla conica c ed anche immagini delle sezioni di f 3 con i piani pro- 

 iettanti; segue: ciascun piano del cono proiettante l'inviluppo di raggi della conica c dal 

 punto A seca /à in una cubica tangente al relativo raggio dell'inviluppo predetto, nel 

 punto di contatto con la conica. 



26. — Sia o uno spazio qualunque dello stelloide {<l) avente la direttrice di 9 quale 

 sostegno: la rigata del 4° ordine /\=òT risulta della 5 a specie di Cremona ( 17 ), 2 a Cayley ( l8 ). 

 Per quanto precede tale f i è rappresentabile birazionalmente sul piano o' = o'Q della stella 

 (£>', Q'). Al variare di 5 in (d) il relativo piano di rappresentazione percorre la stella {D,' Q') 

 traccia di (d) in Q'. 



Inoltre poiché ciascun piano di 8 passante per d seca f A = To ulteriormente in una 

 conica, e 5' in una retta uscente da D', si ha : 



/ raggi della stella (D', Q') risultano immagini delle coniche di V complanari 

 con la direttrice (ti cp. 



27. — Se v è un piano qualunque di e k 4 la sua quartica sezione con T, ciascun 

 piano del fascio (s, 8), 5 essendo la retta comune a 8 e ir, seca k { in terne ( 1B ) di punti 

 variabili con esso, ciascuna delle quali proiettata dal punto A, comune al piano che li de- 

 termina ed alla direttrice d di cp, dà su tre punti allineati col punto sp'=S', cioè appar- 

 tenenti a raggi del fascio sezione di con {p, 2'). 



('■') In tutto 3 + 1 +2=6 condizioni per c» 9 cubiche piane. 



[ l6 ì V. CREMONA. — Sulle superficie gobbe del terzo ordine (Atti R. Istituto Lombardo 18Ó1). 

 ( 17 ) V. CREMONA (Memorie, di Bologna 1868). 



( IK I V. Cayley (Phil. Transactions of the Royal Society of London 1869). 

 ( 19 ) Un punto cade sempre su s. 



