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Giorgio Aprile 



[Memoria XXII.] 



Tali terne di raggi proiettanti determinano una rigata R del 5° ordine avente d 

 quale direttrice tripla : basta difatti osservare che uno spazio generico uscente dalla 

 direttrice d incontra R ulteriormente nei due raggi determinati dai punti ulteriore interse- 

 zione di le con tale spazio ( 20 ). — La traccia di tale rigata su Q', sarà l'immagine Iz 

 della quartica k di v. La k' è dunque : una quintica piana (di o) con un punto triplo 

 in D' e tre punti doppi, due dei quali sono i punti ulteriore intersezione di 8' con 

 c 3 , ed il rimanente è il punto sp'= po'. 



28. — Se k è sezione di T con un piano generico v dell' S,, analogamente al caso 

 precedente si avrà che ciascuno spazio « del fascio (ic) seca k in terne di punti che pro- 

 iettati dal punto ad su Q' danno punti di k' : la rigata R delle rette proiettanti risulta del 

 7° ordine ed ha d quale direttrice tripla. La traccia di tale rigata su 8' sarà 1' immagine 

 le' della quartica le di v ; dunque : 



La k' è una curva gobba razionale del 7" ordine con un punto triplo in D' e 

 tre punii doppi su c' 3 . 



29. — Data una retta r di un piano generico di V , il fascio di spazi (ir.) riferisce 

 proiettivamente r e d (n. 19), sicché la quadrica Vi generata dalle congiungenti i loro 

 punti omologhi seca Q' in una conica r del piano a'=Q'a, a essendo lo spazio rd, piano 

 della stella (D\ Q ') : la conica r' passa per i tre punti a'c 3 (dei quali fa parte D') 

 e per il punto ot'p'. 



Se la retta r si appoggia a % in un punto E, (necessariamente doppio per T), la co- 

 nica di Q', immagine di r si spezza nella retta r\ traccia ( 21 ) del piano Ed su 9.' e nella 

 retta r\ , traccia su Q' del piano comune agli spazi rd ed r~. 



Di qui discende che se il raggio r percorre il fascio (E, a), a essendo 1' unico piano 

 di r distinto da r. e passante per E, lo spazio a=rd descrive il fascio di spazi avente 

 il piano Ed quale sostegno, fascio che risulta proiettivo a (%) , assegnando quali spazi 

 omologhi quelli di ciascuna coppia rd, r~\ sicché il luogo del raggio r\ è quello comune 

 alle coppie di piani omologhi dei fasci tracce dei predetti su Q'. Risulta cioè che al piano 

 o di r corrisponde in 8' una quadrica o , passante per la cubica c\ e per le due rette p' 

 ed r , quest' ultima variabile con a. Per cui : 



Gli oo 1 piani a di T risultano rappresentati in Q' dal fascio di quadriche 

 avente per base la retta p' e la cubica c' 3 . 



Discende ancora (n. 18) che la traccia IT dell' S — cono quadrico II su Q' è immagine 

 del piano t. ed appartiene al fascio S '. 



Se il punto E della conica c coincide con P' , (o con P\), il piano di T uscente da 

 E e distinto da ~ sarà il piano singolare ", (o t 1 ), (n. 20), e la quadrica corrispondente 

 in Q' diviene il cono quadrico che da P', {P'i), proietta c'3 ; e ciò perchè i fasci di spazi 

 (Ed), (~) sopraccennati hanno in questo caso quali tracce, fasci di piani i cui sostegni 

 sono rette uscenti da P', cioè : 



( 20 ) Risulta pertanto che la rigata R contiene le due generatrici di tp dello spazio ò e la retta r= 3- 

 quali rette doppie, questa ultima e la retta tripla d sono direttrici della rigata R. Questa è dunque la rigata 

 gobba razionale del 5 ordine, tipo V di SCHWARZ (V. Creile LXVII 1867), e j" tipo, sottotipo b di MARLETTA. 

 Sulle curve razionali del quinto ordine [Rend. Circolo Matematico — Palermo, Tomo XIX (1905) ] Cap. V, n. 2. 



( 21 ) Tale retta è generatrice del cono quadrico w' traccia su Q' dell' 5 4 — cono ?i (n. is). 



