Sulla varietà, dell' S. , del quarto ordine con rigata cubica normale doppia 13 



Alla coppia di piani singolari t, -, di Y corrisponde in iì' la (sola) coppia di 

 coni quadrici del fascio -'. 



30. — Discende ancora che ogni piano a' del fascio (/>', Q) seca - nella retta p' ed 

 in un fascio di raggi (n. 23 c): per cui si ha: (n. 22 />): 



Le co'-' rette di Q' appoggiantesi (dia c' a ed alla retta p' sowo immagini delle 

 oo 2 i elle di Y incidenti il piano ~. Ovvero .' 



Le oo 2 tfz r incidenti il piano ~ hanno quali immagini i raggi della con- 



gruenza d' ordine uno e classe Ire avente per direttrici p' e c' B . 



31. — Vogliamo qui dimostrare che gli elementi fondamentali di Q sono tutti e soli: 

 la cubica c' 3 , la retta p' ed il punto D '. Difatti tali elementi fondamentali costituiscono la 

 quai'tica base del fascio E', sicché un qualunque punto che non appartenga a tale quartica 

 individua una (sola) quadrica del predetto fascio, epperò un sol punto di Y. Cioè fuori di 

 p' e di c'?, non esistono altri elementi fondamentali. Osservando ancora che ogni punto 

 di c'. s , ad eccezione di D', è immagine di una generatrice di co, ed ogni punto di p' è 

 immagine di una conica di T, (n. 22), si ha che nessun altro punto fondamentale può 

 esistere sulla curva base di H'. 



32. — Essendo r una retta generica di Q', ciascun punto F' di /•' è immagine di 

 un sol punto F di Y ; la congiungente FF', incidente d, riferisce proiettivamente quest' ul- 

 tima e la retta r' , (n. 19). 



Si ottiene in tal modo una quadrica V s , luogo dei raggi FF', la quale ha in comune 

 con la f. dello spazio dr' la d contata due volte e la retta //, traccia ( 2a ) dello spazio 

 dr su tz. L' ulteriore loro intersezione è una curva gobba c 5 del 5 ordine. Inoltre una 

 retta di V s non appartenente al sistema di d, seca fi in d (contata due volte), in n, ed 

 in un altro (solo) punto che appartiene a c 5 . Ne segue che ogni retta del sistema di d è 

 quadrisecante C-. 



Epperò ogni c. siffatta è razionale e della seconda specie ( 23 ). 



Osservando ancora che la r*seca in coppie di punti (in involuzione) le quadriche di 

 2', rappresentative dei piani di I\ si conclude: 



Esistono sulla varietà Y oo 4 quintiche gobbe razionali ciascuna delle quali 

 ammette d quale quadrisecante. Ciascun piano della varietà seca una qualunque 

 di esse in due fi/tufi coniugati in una stessa tnvolusione. Per due punti di V ne 

 passa una sola, mentre per ogni punto ne passano oc'-', ed altrettante ne esistono 

 su ogni sezione con spazi uscenti da d (//. 26) : esiste sempre una coppia di 

 piani di Y tangenti per ciascuna c 5 . 



33. — Se r' si appoggia alla cubica c' 3 in un punto B', con ragionamento analogo 

 a quello del n°. precedente, si deduce che la relativa quadrica V 2 e la j\ dello spazio dr 



(") Poiché è il fascio traccia di (~) sullo spazio di' che riferisce proiettivamente r' e </. 



f-' 3 ) Cfr. BERTINI. Sulle curve gobbe razionali di y 1 ordine — Collec. matti, in memori ani Dominici Cheli ni 1893. 



V. anche MARLETTA. Sitile curve razionali del quinto ordine (Circolo Matem. Palermo 1905). Si de- 

 duce dalle considerazioni sopra esposte: la r r , razionale gobba di 2° specie si può ottenere come intersezione 

 parziale di una quadrica e di una rigata del 4" ordine di 5 a specie di CREMONA. 



