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Giorgio Aprile 



| Memoria XXII.] 



39. — Viceversa: ogni cono qnadrico f di uno spazio generico Q dell' S 4 si può 

 considerare come contorno apparente di una varietà T da un punto doppio di 

 questa. 



Basta difatti osservare che qualsiasi omografìa di S 4 che muta il cono 7., nel dato 7, 

 trasformerà altresì la varietà T, in un' altra, pure del 4° ordine, con rigata cubica normale 

 doppia, avente 7 quale contorno apparente. 



40. — Osservando che ogni generatrice g di cp contiene due punti cuspidali di F 

 (n. 13), e che la proiezione k i di k è la curva intersezione di 7 a col cono quadrico <p 1 

 traccia su t2 1 del cono proiettante cp da /', si ha: 



La proiezione della curva cuspidale di F, da un punto doppio P di questa, 

 su uno spazio generico Qi, è una quartica k t di l a specie con un punto doppio 

 G, ; // cono quadrico che da questo punto proietta k, è il contorno apparente di 

 r su Q, rispetto a P. 



4P — Detto P un punto semplice di F, v un piano generico passante per esso, e 

 c la quartica vT, è noto che le rette passanti per P e tangenti altrove alla c sono in nu- 

 mero di quattro. Le tracce di queste su uno spazio generico Q 1; appartengono al con- 

 torno apparente 7, di T, su , / /'spetto al punto dato P ; per cui : tale contorno 

 apparente è una superfìcie del 4° ordine. 



42. - - Se « è uno spazio uscente da P e tangente altrove alla T, si hanno i due 

 casi seguenti : 



a) a appartenga al fascio k di spazi tangenti a V , il cui sostegno k sia l' unico piano 

 della varietà passante per P. Detto v un piano generico uscente da P e cospaziale con k, 

 la quartica vF sarà costituita dalla retta vX e da una cubica non passante per P: le tan- 

 genti a quest' ultima condotte da P danno i 4 punti in cui la retta XQ X incontra f 4 , per 

 cui la traccia l L di k su iì L non appartiene al contorno apparente ~{ t . 



b) a sia uno spazio proiettante da P un piano generico a di T, spazio tangente a T 

 lungo una retta 5 di 0, retta e piano variabili al variare dello spazio «. La retta 5 pro- 

 iettata da P dà un raggio s { di 7, ; il luogo di s i è il contorno apparente di T ; sicché 

 7 4 è una rigata del 4° ordine. 



43. — Pria di ricercare le singolarità di 7, è opportuno premettere le seguenti osser- 

 vazioni : 



a) Detto M un punto doppio, \i, i due spazi tangenti a T in esso e \i u |jl 2 i due 

 piani di r uscenti da tale punto, il piano fJ 4 [i 2 contiene la generatrice g di 9 passante 

 per M e due rette b ll b, di T uscenti dal medesimo punto M. Se gli spazi p n p 2 passano 

 per P le due generatrici di tali spazi (generatrici incidenti in M) proiettati da P danno 

 su Q l due rette di "f, uscenti dal punto M l traccia su t2 1 dal raggio PAI. Ala P appar- 

 tiene a r, sicché sarà su , o b., , cioè uno dei due piani ;xi, jjl.,, di T, dovrà coincidere 

 con il piano k (n. 42 a) uscente da P, ovvero il luogo del punto A1 L è la traccia di X 

 su 8 1( traccia che non appartiene a 7., epperò: nessun p/n/to M 4 proiezione di un 

 punto di cp può essere doppio per f 4 . 



b) È da escludere ancora il caso di punti doppi di "f 4 dovuti alle tracce su 2i di 



