Sulla varietà, dell' S 4 del quarto ordì ne con rigata cubica normale doppia 17 



raggi uscenti da P ed appoggiantesi a due generatrici sghembe di contatto. Difatti un 

 raggio 5 uscente da P ed appoggiantesi a due siffatte generatrici, giace nei due spazi 

 tangenti a T uscenti da P e passanti per i piani di Y ai quali appartengono le predette 

 generatrici : per cui r incontrerebbe la varietà in P e ulteriormente in due punti ciascuno 

 da contare per due. 



44. Discende pertanto che i punti doppi di sono tutti e soli quelli dovuti alla 

 traccia su 2, dei raggi uscenti da P ed aventi un collidilo tri punto con Y e fuori 

 di P, sicché ; esiste una curva doppia per f 4 . Per determinarne 1' ordine consideriamo uno 

 spazio « passante per P e tangente altrove a Y; esso seca la varietà in un piano a ed 

 in una rigata cubica f 3 (n. ì'2). 



Detta s 1 la proiezione del raggio di contatto s di a da P su Q t , c la conica di o e 

 k quella del piano sP\ dei due punti sic, uno appartiene alla direttrice doppia g della f%, 

 l'altro è punto di contatto S del piano ('')) Ps con la /.,, epperò fornisce un punto dop- 

 pio S t di Y 4 , punto della generatrice s 1 . 



Proiettiamo ancora da P la conica c di a, otterremo un cono quadrico il quale in- 

 contra la f 3 in una sestica dalla quale si stacca la conica predetta e la generatrice di f 3 

 uscente da P: la cubica gobba residua incontra la conica di a in tre punti uno dei quali 

 appartiene alla direttrice doppia g della /'., mentre gli altri due sono d' incontro tripunto, 

 con r, per il corrispondente raggio uscente da P. 



Evidentemente non ne esistono altri, cioè il piano uìì L contiene tre punti doppi della 

 f 4 ; per cui : la curva doppia di y 4 è del 3° ordine. 



Inoltre poiché il piano Ps, in generale, non è bitangente alla f 3 , non contiene oltre S 

 alcun altro punto che proiettato da P dia un raggio a contatto tripunto fuori di P, cia- 

 scuna generatrice s i di -f 4 contiene un sol punto doppio; ciò basta per concludere che 



La superficie "f 4 contorno apparente di Y, da un suo punto semplice P su uno 

 spazio Q y , è una sviluppabile del 4° ordine e della 3 a classe. 



45. — Viceversa: ogni sviluppabile f del 4° ordine e della terza classe si può 

 considerare come contorno apparente di una varietà Y da un punto semplice di 

 questa. 



Basta difatti osservare che due cubiche gobbe sono proiettivamente identiche, e quindi 

 qualunque omografia di S 4 che muti la sviluppabile f 4 nella data 7, trasformerà altresì la 

 varietà l 1 in un' altra pure del 4° ordine, con rigata cubica normale doppia, avente 7 quale 

 contorno apparente. 



46. — Sia P un punto generico, non appartenente alla varietà: il contorno appa- 

 rente Y 6 di Y rispetto a P su uno spazio non passante per P, è una sviluppa- 

 bile d' ordine sei. 



Difatti un piano generico uscente da P seca Y in una quartica con tre punti doppi, 

 la cui classe è sei. Che '(,. sia sviluppabile risulta dal fatto che ogni spazio a tangente a 

 r e passante per P fornisce un (solo) raggio di contatto 5 la cui proiezione s 1 da P su £ì 4 

 è generatrice di f 6 , mentre, contenendo tale spazio una rigata cubica f 3 di Y, il cono tan- 



( 27 ) CREMONA. Sulle superficie gobbe del ter z' ordine (Atti R. Istituto Lombardo 1861). 

 ATTI ACC. SERIE V. VOL. VII — Man. XXI. 



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