Sulla varietà, dell' S, , del quarto ordine con rigata cubica normale doppia 19 



e quelli A\ A\ dello spazio 9J in cui si è rappresentata la varietà (ri. 19). Tale corri- 

 spondenza o trasf orniamone doppia ( 31 ) T dello spazio fìj nell'altro 0' qui studieremo 

 sommariamente. 



50. — Se X è un piano generico di Q 1 , X' la superficie del 5° ordine immagine nello 

 spazio Q' della sezione di T con lo spazio Pk, (n, 36), saranno X, 1' forme corrispondenti 

 nella trasformazione doppia. Inoltre ad ogni retta r di Q l corrisponde in Q' la curva ra- 

 zionale del 7° ordine, immagine in Q' della sezione di T col piano rP, (n. 28), sicché ( 32 ). 



La trasformazione doppia T è del 5° ordine e di genere zero. 

 Inoltre la T sarà chiamata trasformazione razionale perchè razionale è la varietà 

 r, mediante la quale essa si può ottenere nel modo sopradetto. 



51. — Essendo f., il cono quadrico contorno apparente di Y da P su fì ( (n. 38), esso 

 è tale che i due punti di 0i corrispondenti ad un suo punto qualunque sono infinitamente 

 vicini, e quindi costituisce la superficie limite ( 33 ) di Q r 



52. — Indichiamo con Y la superfìcie doppia di Q' cioè la superficie che corrisponde 

 in fì' alla superficie limite y 2 di Q i} — ed osserviamo che alle co 1 generatrici del cono "f 2 

 corrispondono nella T co 1 coniche di Q' passanti tutte per il punto D' (n. 29). 



Inoltre poiché le generatrici di contatto che proiettate da P danno le rette di si 

 appoggiano tutte alla generatrice g di cp uscente da P, si ha che le oc 1 coniche predette 

 passano (n. 29) anche per il punto G' =gQJ , 



Proiettiamo le generatrici di 7, dal piano gd = s, (d direttrice di cp), passante eviden- 

 temente per il vertice 6 i di f 2 ; si otterrà un fascio (e) di spazi. Ciascuno spazio P ditale 

 fascio seca il cono Y2 in due generatrici, alle quali corrispondono in Q' due coniche en- 

 trambe del piano p'Q', (n 1 . 26 e 29). Al variare di p in (e) il piano percorre il fascio 

 (e) traccia di (s) in Q'; sicché: 



La superfìcie '( ammette una semplice infinità di coniche tu/te passanti per i 

 due punti G', D , e giacenti a coppie in piani del medesimo fascio. 



Indichiamo con (e^ il fascio di piani traccia di (e) su Q t , ed osserviamo che facendo 

 corrispondere i piani di con le coppie di generatrici di f a giacenti in tali piani, viene 

 assegnata una corrispondenza (1, 2). 



E poiché le generatrici di 7, risultano riferite proiettivamente ai piani di T (n. 14), 

 e questi ultimi sono rappresentati in 0' dalle quadriche del fascio 2 , risultano anche (e) 

 e S in corrispondenza (1, 2); sicché: 



La superficie ~( risulta luogo delle coniche comuni ai piani del fascio (e) ed 

 alla coppia di quadriche omologhe del fascio ^ in una cor rispondenza (/, 2) fra 

 loro assegnata. 



Tale corrispondenza la indicheremo con 0). 



Da siffatta costruzione risulta : 



( 31 ) La teoria generale delle trasformazioni doppie è dovuta al DE PAOLls. Le trasformazioni doppie 

 dello spazio. (Acc. Lincei 1885), 



( 3a ) DE PAOL1S, loc. cit. 31) n. 10. 

 ( ;!3 ) DE PAOLIS, loc. cit. 31) n. 2. 



