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Giorgio Aprile 



[Memoria XXII.] 



a) Essendo r una retta generica di Q', A un suo punto qualunque, a il piano di {e) 

 passante per questo, ed <x i9 a., le due quadriche corrispondenti in m al piano a, si otterrà 

 una corrispondenza (l, 4) fra i punti A di r e la quaterna di punti in cui /' incontra 

 «j, « 2 ; tale corrispondenza ammette 5 coincidenze, sicché : 



La superficie ~{ è d'ordine 5. 



b) Ripetendo le precedenti considerazioni per un punto A generico della quartica p'c 3 

 base del fascio 2 risulta: 



La superfìcie f' ammette una curva doppia del 4° ordine costituita da una 

 cubica gobba e da una sua corda. 



c) Risulta ancora dalla costruzione predetta che la retta e sostegno del fascio (e) ap- 

 partiene a '( ed è semplice per questa: per cui ciascun piano a di (è) incontra ~( nella 

 coppia di coniche predetta e nella retta e = G' D', cioè : 



La superficie "(' ammette i due punti G', D' quali punti tripli. 



d) Inoltre si osservi che le due generatrici di contatto degli spazi P~ , P~ y , proiet- 

 tanti i piani singolari t, t x di T (n. 2), danno luogo a generatrici di 7 2 le cui coniche 

 corrispondenti in ~( risultano costituite dalle due coppie di rette in cui gli spazi predetti 

 incontrano i coni P'c 3 , P\c' 3 rispettivamente (n. 29). Osservando ancora che la coppia di 

 piani traccia di detti spazi su Q [ risulta costituita dai piani tangenti a y 2 ed uscenti dalla 

 retta ( 34 ) G i D L> traccia del piano gd su "Ì L , si conclude che i piani, traccia dei medesimi 

 spazi su 9', risultano tangenti alla superficie doppia '( lungo le coppie di rette predette. 

 Per cui : 



La superficie 7' risulta tangente ai due piani eP\ eP\ lungo le due coppie di rette 

 P'D', P'G' e P/Z)', P L 'G' rispettivamente. 



e) Osservando che detta q la tangente a c\ nel punto P\ i piani : p'q , p'G', p'D' 

 secano 7' in curve aventi P' come punto triplo, e che altrettanto può dirsi per P\ , si ha : 



I due punti P', l \ sono tripli per 7'. 



f) I due piani p'G' e p'D' , avendo ciascuno a comune con ■( la p' , (doppia), ed 

 una coppia di rette, incontreranno ulteriormente 7' in due rette u, v uscenti da G', D' 

 rispettivamente. Per cui : 



Per ciascuno dei due punti tripli G', D' passa una terna di rette della 7' complanari 

 con la retta doppia della medesima. 



g) Dimostriamo per ultimo che ogni superficie f d' ordine 5 che ammetta come dop- 

 pia una cubica c 3 gobba ed una corda p di questa, e come tripli : i due punti in cui 

 questa corda si appoggia alla cubica, ed altri due punti D e G di questa, si può gene- 

 rare nel modo indicato al principio di questo n° . 



Difatti un piano L passante per la retta GD = e incontra f nella retta e e in una 

 quartica costituita da una coppia di coniche, dovendo tale quartica ammettere i quattro 

 punti doppi X. c 3 p. 



Sia l L una di tali coniche ed A un suo punto generico ; per tale punto passa una 

 sola quadrica del fascio £ avente pc 3 per base, quadrica che seca k in una conica coin- 

 cidente con /j . Viceversa questa quadrica seca/, fuori di c s p, nella sola conica l L . 



Si conclude quindi che : 



U11 fascio di quadriche 2 avente per curva base una cubica gobba ed una 



( 34 ) Difatti i piani traccia su Q 4 degli spazi tangenti afe passanti per P sono piani tangenti a (n. 38). 



