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Vincenzo Amato 



[Memoria XXIII.] 



Delle sostituzioni ortogonali periodiche si riesce così a dare una rappresentazione per 

 mezzo di quella relativa alle sostituzioni ortogonali. 



Inoltre la partizione ( m i m zr ..,m p ) del numero // con m r —m p . r serve a classificare 

 le sostituzioni ortogonali di ordine ;/ e di grado p. 



1. Sia data una sostituzione lineare S e denotiamo con \ S \ il suo modulo. Es- 

 sendo J la sostituzione identica, posto: 



f{s) 



= \S-zJ\, 



si dimostra che ogni radice Adequazione caratteristica f{s) — è sempre radice del- 

 l' equazione s p — 1=0, se si suppone: 



cioè che la S sia di grado p. In altre parole, se si pone: 



27C2 



oì = e p , 



sarà : 



f(e) = (co - e) m t (to' 2 — 8 ) m% (o>p — s) m P, 



essendo '• 



m i + m 2 + m P = n. 



Si dirà che {ni i m p ) è il carattere della sostituzione S. 



Notiamo subito che se S è ortogonale l'equazione caratteristica di essa è reciproca ('). 

 Sicché, se S è inoltre di grado p, avremo : 



///] = m p -i, m% = >>ip-2, 



perchè se f{s) =0 ammette la radice co'' di multiplicità /;/,., essa ammetterà anche la 

 radice tù p ' r = <n~ r con la stessa multiplicità e sarà perciò: m r — m p _ v . 



£ 



Osserviamo inoltre che se p è pari si avrà: e» 2 = — 1, e la radice — 1 potrà es- 

 sere ammessa dall' equazione caratteristica con la multiplicità m v , mentre se p non è 



T 



pari l' equazione caratteristica di una sostituzione lineare ortogonale di grado p non può 

 ammettere la radice — 1, perchè — 1 non è radice p-esima dell' unità, se p è dispari. 



( 4 ) Una dimostrazione di questo teorema, dovuto a Brioschi, si trova in Cipolla , Le sostituzioni orto- 

 gonali non cayleyane, Atti di quest'Accademia, serie V, voi. VII, mem. II. 



